计算行列式的最小算术运算数

是否有任何工作要找到为较小且固定的计算 x矩阵的行列式所需的基本算术运算的最小数目？例如，。 $n$ $n$ $n$ $n=5$

cc.complexity-theory linear-algebra determinant

— 伦比克
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我已经问过专家这个问题，显然现在甚至还不知道是否需要9次乘法来计算3x3矩阵的行列式。

— Jeffrey Shallit，2016年

@JeffreyShallit如果

9

$9$ 可能已经很有趣（例如，小于

n^{3}

$n^3$ ）。如何

n = 4

$n=4$ ？

— Lembik '16

不，一点都不有趣。n = 3的9次乘法由未成年人进行扩展。再次对于n = 4，未成年人的扩张得到40。我不知道如何用少于40的乘法来实现。

— Jeffrey Shallit '16

@JeffreyShallit哦，我明白了。如果对于任何固定

没有什么比天真更好的了（至少对我来说是令人惊讶的）

n

$n$ 。

— Lembik '16

如果有人知道，也许他们可以告诉我们。

— Jeffrey Shallit '16

众所周知，算术运算必要的数量来计算的行列式矩阵是，其中是所述矩阵乘法常数。例如，请参见Wikipedia上的此表及其脚注和参考。注意，在同样的意义上，矩阵求逆的渐进复杂度也与矩阵乘法相同。 $n\times n$ $n^{\omega+o(1)}$ $\omega$

等效是相当有效的。特别是，您可以使用Schur补码通过处理个块来递归计算矩阵的行列式： $n\times n$ $(n/2) \times (n/2)$

D invertible ⟹ det (\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}) = det (D) det (A - B D^{- 1} C) .

$\text{$D$ invertible}\qquad\implies\qquad\det \begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix} = \det(D) \det(A-BD^{-1}C).$

因此，可以计算一个通过计算两个行列式决定，反相一个矩阵，乘以2双矩阵，以及一些更简单的操作。递归扩展行列式调用，复杂度最终由矩阵乘法和求逆控制。 $n\times n$ $(n/2)\times (n/2)$ $(n/2)\times (n/2)$ $(n/2)\times (n/2)$

即使对于较小的甚至不使用亚三次矩阵乘法算法，这也能很好地工作。（当然，它最终被更多或更少相当于高斯消去。）例如，对于，我们可以计算具有两个乘法，四个分部，具有乘法，具有2个乘法，并且最终答案是一个乘法。总数为乘法加除，小于 $n$ $n=4$ $\det(D)$ $D^{-1}$ $BD^{-1}C$ $2\times 8=16$ $\det(A-BD^{-1}C)$ $2+4+16+2+1=25$ $40$ 从辅助因子扩展。使用Strassen算法在这里保存了两个乘法，但渐近地保存了两个。

您可能会注意到，此扩展至关重要地使用了除法。如果您想避免除法，则可以通过使用Clow序列和动态编程在操作中进行除法。还已知如何实现乘法且无除法。 $O(n^4)$ $n^{2+\omega/2+o(1)}$

— 雷克斯
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您知道乘法的下限吗？即使n = 3？

— Jeffrey Shallit '16

您的措辞“算术运算必要以计算的行列式数

矩阵是

”表明的下限是已知的。但是我在任何引用的作品中都没有看到这一点。我想念什么吗？

n \times n

$n \times n$

n^{ω + o (1)}

$n^{\omega +o(1)}$

— Jeffrey Shallit '16

下限在W.Baur和V.Strassen的论文“偏导数的复杂性”中（dx.doi.org/10.1016/0304-3975(83)90110-X）–

— 弗拉基米尔·