“真正困难的问题在哪里”坚持了吗？关于这个主题的最新想法是什么？

我发现这篇论文非常有趣。总结一下：它讨论了为什么在实践中您很少发现NP完全问题的最坏情况。本文中的想法是，实例通常要么受约束不足，要么受约束过度，这两种情况都相对容易解决。然后针对一些问题提出了一种“约束”措施。这些问题似乎具有从解决方案的0可能性到100％可能性的“相变”。然后假设：

1. 所有NP完全（甚至所有NP问题）问题都有一定程度的“约束”。
2. 对于每个NP完全问题，您都可以根据“约束”来创建存在解的概率图。而且，该图将包含一个相变，在该相变中该概率迅速而急剧地增加。
3. NP完全问题最坏的例子是该相变。
4. 问题是否在于该相变这一事实在将一个NP完全问题转换为另一个NP完全问题时仍然是不变的。

该论文于1991年发表。我的问题是，过去25年中是否有关于这些想法的后续研究？如果是这样，当前对它们的主流想法是什么？他们发现正确，不正确，无关紧要吗？

这是状态的粗略总结，基于Vardi在有限模型和算法模型理论研讨会（2012）上的演讲：

据观察，硬实例位于从欠约束区域到过度约束区域的相变。基本的推测是，相变与NP问题的计算复杂性之间存在紧密的联系。

Achlioptas–Coja-Oghlan发现，在满足区域中存在一个密度，在该区域中，解决方案空间破碎成指数地成许多小簇。Vinay Deolalikar进行了著名的证明尝试，其假设是粉碎意味着计算难度。XOR-SAT在P中的事实反驳了Deolalikar的证明$P \ne NP$$P$并且粉碎。因此，粉碎不能用来证明计算的硬度。

当前的主流思想似乎是（如Vardi所述），相变与计算复杂性并没有内在联系。

最后，这是《自然》杂志上发表的一篇文章，研究了相变与K-SAT的计算硬度之间的联系。

是的，自Cheeseman，Kanefsky和Taylor的1991年论文以来，已经做了很多工作。

搜索NP-Complete问题的相变将为您带来很多结果。Hartmann和Weigt [1]就是这样的评论。有关更高级别的介绍，请参见Brian Hayes美国科学家的文章[2] [3]。

Cheesemen，Kanefsky和Taylor的1991年论文是计算机科学家没有注意数学文献的不幸案例。在Cheeseman，Kanefsky和Taylor的论文中，他们将汉密尔顿周期确定为具有相变，并且搜索成本在临界阈值附近有所上升。他们使用的随机图模型是Erdos-Renyi随机图（固定边缘概率或等效的高斯度分布）。在Cheeseman等人1991年的论文之前，已经对该案例进行了充分的研究，即使对于临界图或接近临界阈值，此类图也几乎可以肯定地采用多项式时间算法。Bollobas的“随机图” [4]是很好的参考。我相信原始证据是由Angliun和Valiant [5]提出的，而Bollobas，Fenner和Frieze [6]则作了进一步的改进。继芝士曼之后

随机Erdos-Renyi随机图中汉密尔顿周期的相变存在的意义是，找到解决方案的可能性有快速的转变，但这并不意味着汉密尔顿周期的“内在”复杂性增加。在理论上和实践上，甚至在临界转变时，几乎肯定有多项式时间算法可以在鄂尔多斯-仁伊随机图中找到哈密顿环。

调查传播[8]在找到非常接近临界阈值的随机3-SAT令人满意的实例方面取得了成功。我目前的知识有点生锈，所以我不确定在临界阈值附近为不满意的情况找到“有效”算法是否有很大进展。据我所知，3-SAT是一种“容易”解决的问题，它是否可以满足且接近临界阈值，但在临界阈值附近无法满足的情况下未知（或很难？）。

我的知识现在已经过时了，但是上一次我深入研究这个主题时，有一些事情对我很重要：

• 对于Erdos-Renyi随机图，哈密顿周期是“容易的”。困难之处在哪里？
• 当在几乎确定的概率0或1区域中很远时，即使对于中等大小的实例（据我所知，每个1000位500位数字都是完全难解的），没有有效的算法（据我所知），数字分区应该可以解决。最先进的算法）。[9] [10]
• 对于接近临界阈值的可满足实例，即使是巨大的实例大小（数百万个变量），3-SAT都很“容易”，但是对于接近临界阈值的不满意实例，3-SAT很难。

我犹豫将其包括在这里，因为我没有发表任何同行评审的论文，但我确实写了论文就此主题而言。主要思想是，“本质上困难”的一类可能的随机合奏（哈密顿循环，数字分配问题等）具有“尺度不变性”。稳定征值分布是具有这种质量的自然分布中的一种，具有幂律尾部，并且可以从NP-完全合奏中选择随机实例，该组合以某种方式并入了稳定征值分布。我给出了一些薄弱的证据，如果选择具有Levy稳定度分布而不是正态分布（即Erdos-Renyi）的随机图，则可以发现本质上困难的哈密顿循环实例。如果没有别的，它至少会为您提供一些文献综述的起点。

[1] AK Hartmann和M. Weigt。组合优化问题中的相变：基础知识，算法和统计力学。Wiley-VCH，2005年。

[2] B.海斯。最简单的难题。美国科学家，90（2），2002。

[3] B.海斯。在门槛上。美国科学家，91（1），2003。

[4] B.Bollobás。随机图，第二版。剑桥大学出版社，纽约，2001年。

[5] D. Angluin和LG Valiant。用于汉密尔顿电路和匹配的快速概率算法。J.计算机，系统。Sci。，1979：18：155-193。

[6] B.Bollobás，TI Fenner和AM Frieze。在随机图中查找汉密尔顿路径和循环的算法。Combinatorica，7：327-341，1987。

[7] B. Vandegriend和J. Culberson。对于哈密顿环问题，G n，m相变并不困难。J. AI Research，9：219-245，1998。

[8] A. Braunstein，M。Mézard和R. Zecchina。调查传播：可满足性的算法。随机结构和算法，27：201-226，2005年。

[9] I. Gent和T. Walsh。数划分的启发式分析。计算智能，1998年14：430-451。

[10] CP Schnorr和M. Euchner。格基减少：改进的实用算法和解决子集和的问题。L. Budach编辑的《计算理论基础》 91年论文集，计算机科学讲义，第529卷，第68-85页，1991年。

25年的学习，以及目前的想法在哪里？

+++理念1：

根据我在可满足性解决方案方面的经验，我在实践中发现，在要尝试解决的公式中添加有效的k子句类似于确定（nk）变量qbf。

这似乎是一种显示当前NP的饱和求解方法是pspace-hard的方法！

+++理念2：

另一个想法是，AllQBFs问题是布尔层次结构中的实际问题。AllQBFs问题是：产生一个布尔表达式Q，它决定公式R的所有2 ^ n个qbfs。当原始公式R为单调或2-cnf时，AllQBF很容易。

由于Q通常是指数的，因此所有QBF似乎是显示QBF为Exp的一条合理的途径，因此评估Q的赋值（原始公式R的量化）是指数的。因此，证明NP的道路是Exp至少其中有两块砖。

+++理念3：常规k-cnfs

顺便说一句，所有相变研究都错过了正则k-cnfs，​​其中变量（在任一方向上）的出现次数是固定的，类似于度数正则图...正则k-cnfs比标准模型难得多，因为所有变量在约束方面看起来都是相同的。

二十五年前，在读了cheeseman之后，我专注于度正则图着色，因为所有变量看起来都一样。因此，我将在这里滥用我的回答权限，并在规则图上显示25年的结果！

+++理念4：可满足性基准研究的黄金点

我已经相当广泛地研究了D正则N顶点图的C着色。下表总结了常规图形着色的Golden Point结果。

对于高概率，可满足N个随机实例。对于非常高，N ^ 2是可满足的。对于超高，N ^ 3个随机实例是可以满足的。

高概率（1-1-N）金色着色点是：

C3D5N180 C4D6N18 C4D7N35 C4D8N60 C4D9N180？C5D10N25 C5D11N42 C5D12N72

极高概率（1-1-（（N ^ 2））金色着色点是：

C3D5N230？C4D6N18 C4D7N36 C4D8N68 C4D9N ??? C5D10N32 C5D11N50 C5D12N78

超高概率（1-1 /（N ^ 3））金色着色点是：

C3D5N ??? C4D6N22 C4D7N58 C4D8N72？C4D9N ??? C5D10N38 C5D11N58 C5D12N ??

C4D9条目表示第九个度图的四种颜色。这些是我在25年的卫星求解中遇到的最困难的随机4cnfs。我最近在十天的CPU时间后为172顶点第九度图形着色。

+++想法5：C5D16N ？??? 稍微推测金点已经存在。

谢谢，Daniel Pehoushek