渐近地知道停止问题真值表的Kolmogorov复杂性吗？

令表示长度为的字符串，该字符串与长度为输入的停止问题的真值表相对应。$HALT_n$$2^n$$n$

如果Kolmogorov复杂度的序列为，那么将无限次使用一个建议字符串，并且带有该字符串的TM硬编码的TM可以经常无限次均匀地求解，我们知道并非如此。$K(HALT_n)$$O(1)$$HALT$

仔细检查对角化参数，实际上表明至少为，因此连同平凡的上限，我们有：$K(HALT_n)$$n - \omega (1)$

$n - \omega(1) \leq K(HALT_n) \leq 2^n + O(1)$

Fortnow和Santhanam在最近的论文``统一复杂度类的新的非统一下界''中的介绍中指出了这个下限，他们将其归因于民间文学艺术。基本上，如果建议字符串短于输入长度，那么我们仍然可以对角线化以最多具有建议数量的机器。

（编辑：实际上，在论文的早期版本中，他们将其归因于民间文学艺术，我想现在他们只是说这是对哈特曼尼斯和斯坦斯的改编。）

实际上，在那篇论文中，他们关注的是时间层次定理，它们陈述的是与时间步长相关的资源约束，而不是不受限制的Kolmogorov复杂性。但是，在不受限制的情况下，``民俗学''结果的证明是相同的。$t$

他们关心建议下限的原因之一是，它与电路下限和``硬度与随机性''范式中的去随机化有关。例如，如果规范问题可以及时解决$2^n$拥有需要建议真值表才能在时间进行计算，那么这些真值表也没有大小为电路，因此是因Impagliazzo和Wigderson的出色表现而获得的。$2^{\epsilon n}$$2^{\epsilon n}$$2^{\epsilon n}$$P = BPP$

询问却没有任何此类应用程序，但可能更容易解决。声明起来也更容易，不依赖于时间限制参数-这是一个相当自然的问题，可能已经进行了研究。$K(HALT_n)$

除了``民俗学''结果外，还有其他更好的上下限吗？上限或下限是紧密的吗？$K(HALT_n)$

注意：关于停顿问题的电路复杂度，还有一篇不错的文章，可以通过Emil Jerabek在此处提出的论点将其视为几乎最大：https ://mathoverflow.net/questions/115275/non-uniform-complexity 停止问题

基本上，它使用了一个技巧，即我们可以（通过随机访问）按类计算（大型）电路复杂性的字典顺序第一个真值表。并且我们可以将这种计算简化为对停顿问题的查询，并且这种降低具有较低的电路复杂性。因此，必须具有较大的电路复杂度-如果没有，则此功能的复杂度也将较低。$E^{NP^{NP}}$$HALT$

尽管看起来很相关，但我认为此参数对没有任何帮助。（可能由于电路复杂度的限制，的有时间限制的Kolmogorov复杂度很大，但是随着时间限制的放宽，复杂度急剧下降。）我认为类似的论点表明，如果我们有一个对于停止问题，那么我们可以支持对字典第一个不可压缩字符串的随机访问查询。但是，我们必须进行一系列自适应查询，据我所知，这不能直接归结为。另外，查询字符串必须是指数级的afaik，因此最终只会显示复杂度至少为$K(HALT_n)$$HALT$$HALT$$HALT_{2^n}$$2^n$ afaict，这没有击败``民俗学''的论点。

不幸的是，我在Kolmogorov复杂度方面的背景非常薄弱，是否已经通过其他一些论点知道了？也许使用信息对称有一个窍门？$K(HALT_n)$

或者，我错过了一个更好的上限吗？

可能看起来很奇怪的一件事是，切换回设置，仅当我们将时间减少到朴素算法以下时，我们才期望得到建议下限。当您有足够的时间运行朴素算法时，显然它是可压缩的。在的情况下，根本没有时间限制，因此也许我们与对手有``相同''的时间量，并且不应该期望它是最大不可压缩的。但是，对角化也可以在不受限制的设置下工作-似乎对于任何一台机器，都有一台机器执行与该机器相同的操作，然后再执行其他操作，因此总会有人比您拥有更多的时间。所以也许对手总是比我们拥有更多的时间...$DTIME$$K(HALT_n)$

嗯，事实证明，实际上存在一个匹配的上限并不难：

产生真相表 $HALT_n$ 在有限的时间内，唯一需要的信息是描述长度最大的机器数 $n$停了下来。这个数字不超过$2^{n}$，因此可以用 $n$位。然后，我们可以并行启动所有此类机器，然后运行它们，直到其中许多机器停止运行为止，而其余机器则不会停止运行。

因此，我想这里的民俗论据很紧。我们有

$n - \omega(1) \leq K(HALT_n) \leq n + O(1)$

和 $K(HALT_n)$ 仅定义明确，直到加法 $O(1)$ 无论如何，取决于我们选择的通用图灵机。

注意：作为一项可爱的奖励，此证明表明 $n$位字符串，最多与描述长度的机器数相对应 $n$ 暂停是不可压缩的字符串-如果它是可压缩的，则此处的上限将更紧，与下限相反。