拉姆西定理集合的定理

在探索证明分布式算法下界的不同技术时，我想到拉姆西定理的以下变体可能有应用-如果它是真的。

参数：$k$，$K$，$n$给出，然后选择$N$足够大。术语：$m$子集是大小为的子集$m$。

• 设$A = \{1,2,...,N\}$。
• 令$B$由A的所有$k$个子集组成。$A$
• 令$C$包含B的所有$K$个子集。$B$
• 分配一个着色$f\colon C \to \{0,1\}$的$C$。

现在，拉姆齐定理（超图版本）说，不管我们如何选择$f$，有单色 $n$ -subset $B'$的$B$：所有$K$ -subsets的$B'$具有相同的颜色。

我想进一步走一步，并找到一个单色$n$ -subset $A'$的$A$：如果$B' \subset B$由所有的$k$的-subsets $A'$，那么所有$K$ -subsets的$B'$具有相同的颜色。

这是对还是错？它有名字吗？您碰巧知道任何参考吗？

如果由于某些琐碎的原因而为假，那么是否有一个较弱的变体类似于此声明？

观察到，只有当k，K都大于1时，这个问题才是非平凡的。对于k = 1或K = 1的情况，它只是正常的Ramsey定理，对于所有n都是正确的。另外，我们只需要处理 > K的情况，否则定理成立，因为最多有一个 -B'的子集由n个子集A'构成的A。${n \choose k}$${n \choose k}$

首先，我们证明对于所有k> 1，K> 1，并且任何n满足 > K>的定理是假的。（n−${n \choose k}$$({n-1 \atop k})$

为了构造一个反例，对于任何大的N和A = [N]，我们必须构造一个着色函数f，使得对于B的所有n个子集A'，如果B'包含A'的所有k个子集，B'的某些K子集具有不同的颜色。在这里，我们有以下观察：

观察1.在k，K> 1且 > K>，B的任何K子集最多是一个B的子集，由A的n个子集A'。（n−${n \choose k}$$({n-1 \atop k})$

通过表示为超图可以很容易地观察到观察结果。假设A是图G的节点，A的n个子集A'是G中完整n个子图的节点集.B'是完整子图中的k个超边集（2个超边是a法线边缘），B'的K个子集是K个k超hyperedges 的每个组合（总共有个，其中| B'| =） 。观测结果表明：G中任何超边的K元组最多都属于一个完整的n-子图，这对于 > K>是显而易见的，因为任何两个完整的n个子图最多与n-1个节点相交，最多具有超边。（$({|B'| \atop K})$（${n \choose k}$（n−${n \choose k}$（n−$({n-1 \atop k})$$({n-1 \atop k})$

然后，我们可以在由n个子集构成的特定B'的K个子集C'中分配不同的颜色，因为C'中的任何元素都不会作为由n个子集构成的B''的另一个K个子集出现一种''。对于不是由A的任何n个子集构成的B的任何K个子集，我们为其分配随机颜色。现在我们有了一个着色函数f，其特性是A的n个子集构成的B'都不是单色的，也就是说，B'的某些K个子集具有不同的颜色。

接下来，我们证明对于所有k> 1，K> 1，并且任何n满足 > K 的定理也是假的。这里唯一的区别是n可能选择得太大，以致K>是不正确的。但是通过另一个简单的观察：（n−${n \choose k}$$({n-1 \atop k})$

观察2.如果由A的n个子集A'构成的某些B'是单色的，则对于n'<n，由A'的n'子集A''构成的每个B''也都是单色的。

因此，我们可以假设定理成立于较大的n，应用第二个观察值，并通过设置n'满足 > K>；这样的n'必须通过以下事实存在： > K和K>，n'必须位于n和k + 1之间。（ ñ ' -$({n' \atop k})$（$({n'-1 \atop k})$（$({n \atop k})$$({k \atop k})$