柯尔莫哥洛夫复杂性的不可计算性是否源自劳维尔的不动点定理？

许多定理和“悖论”-康托尔的对角化，阴影的不确定性，柯尔莫哥洛夫复杂性的不确定性，哥德尔不完全性，柴廷不完整性，拉塞尔悖论等-都具有通过对角化的相同证明（请注意，这比他们可以说的更具体）所有这些都可以通过对角化来证明；相反，感觉所有这些定理实际上都使用相同的对角化；有关更多详细信息，请参见例如Yanofsky，或者更简短和不那么形式化地说明我对这个问题的回答。

Sasho Nikolov在对上述问题的评论中指出，其中大多数是Lawvere不动点定理的特例。如果它们都是特例，那么这将是捕捉上述想法的一个好方法：确实会有一个带有一个证明（洛夫韦尔）的结果，所有上述结果都将作为直接推论。

现在，由于暂停问题及其朋友的哥德尔不完整和不确定性，众所周知，他们遵循Lawvere的不动点定理（例如，参见here，here或Yanofsky）。但是，尽管潜在的证据在某种程度上“是相同的”，但我并没有立即看到如何针对不确定的Kolmogorov复杂性来做到这一点。所以：

柯尔莫哥洛夫复杂性的不可确定性是否是劳维尔不动点定理的快速推论-不需要额外的对角线化？

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
source

我应该说的是，我从安德烈·鲍尔（Andrej Bauer）的博客文章中学到的所有知识：math.andrej.com/2007/04/08/on-a-proof-of-cantors-theorem

— Sasho Nikolov

@MaxNew：令

是由某些TM

计算的可计算函数。让

是以下TM：上空的输入，它开始于时间通过琴弦一个下去，直到它找到一个

与

并输出

。需要注意的是

一些

仅在根据

。那么对于任意

使得f $f$

M $M$

Mk $M_k$

x $x$

f(x)≥|x|>k $f(x) \geq |x| > k$

x $x$

|Mk|≤log2(k)+c $|M_k| \leq \log_2(k) + c$

c $c$

|M| $|M|$

k $k$

（任何足够大的

都可以），或者没有这样的

（在这种情况下

），或者

输出一些

使得

（根据构造），但是

输出

的事实意味着

，所以

k>|Mk| $k > |M_k|$

k $k$

x $x$

f≠C $f \neq C$

Mk $M_k$

x $x$

f(x)≥|x|>k $f(x) \geq |x| > k$

Mk $M_k$

x $x$

C(x)≤|Mk|<k $C(x) \leq |M_k| < k$

。f(x)≠C(x) $f(x) \neq C(x)$

— 约书亚·格罗夫

@NealYoung：相似，但是那些并不能完全回答我的问题。减少暂停问题是使HALT成为不可计算性的“源”，然后使用减少量。但是（例如）我在上面的评论中给出的证明表明，您也可以将K复杂度作为“不可计算性的来源”，但是可以采用与HALT极为相似的证明。在某种技术上，实际上可以证明相似的证明是相同的吗？（在这种情况下，通过证明它们都是Lawvere定理的实例，在我看来，这比许多简化都强。）这就是我真正追求的。

— Joshua Grochow

@NealYoung：是的，它推广了罗杰的不动点定理。但是，如果仅将其视为罗杰定理，那么您将错过这一点。关键是，Lawvere的通用性足以捕获除罗杰（Roger）之外的许多不同证明的证明策略。与该问题相关的Yonofsky论文旨在成为Lawvere定理的“无类别”说明，对Lawvere类别理论可能会吓tim其人的人们友好。

— 约书亚·格罗夫

另见cstheory.stackexchange.com/a/2830

— 安德拉斯·萨拉蒙

编辑：添加了罗杰不动点定理可能不是Lawvere特例的警告。

这是一个可能是“接近”的证明……它使用罗杰的不动点定理，而不是劳维尔的定理。（请参阅下面的评论部分，以进行进一步的讨论。）

令为字符串的Kolmogorov复杂度。 $K(x)$ $x$

引理。 是不可计算的 $K$ 。

证明。

假设矛盾是是可计算的。 $K$
将定义为的任何图灵机的最小编码长度。 $K'(x)$ $M$ $L(M) = \{x\}$
存在一个常数使得的所有字符串。 $c$ $|K(x) - K'(x)|\le c$ $x$
定义函数使得其中，使得是的最小字符串使得。 $f$ $f(\langle M \rangle) = \langle M' \rangle$ $L(M') = \{x\}$ $x$ $K(x) > |\langle M\rangle| + c$
由于是可计算的，因此也是可计算的。 $K$ $f$
由Roger的固定点定理，具有固定点，即，存在一个图灵机，使得，其中。 $f$ $M_0$ $L(M_0) = L(M_0')$ $\langle M_0' \rangle = f(\langle M_0\rangle)$
通过第4行中的定义，我们有使得。 $f$ $L(M_0) = \{x\}$ $K(x) > |\langle M_0\rangle| + c$
第3和7行暗示。 $K'(x) > |\langle M_0\rangle|$
但是根据第2行中的定义，，与第8行相反。 $K'$ $K'(x) \le |\langle M_0 \rangle|$

— Neal Young
source

As far as I know Roger's fixed-point theorem is not an instance of Lawvere's fixed-point theorem. It is a variant, though, because in the effective topos it reads as follows: if

f:N⇉AN $f : \mathbb{N} \rightrightarrows A^\mathbb{N}$ is a mutlivalued surjection then

A $A$ has the fixed-point property. (Lawvere's theorem in the effective topos is: if

f:B→AB $f : B \to A^B$ is a surjection then

A $A$ has the fixed-point property.)

— Andrej Bauer

Above my pay grade, @AndrejBauer -- I don't know category theory. Tried reading this and your answer here. Still don't get it. Can you tell me, in your comment above, for Rogers' theorem, what do you take for the function

f $f$ (with type

f:N→→AN $f:\mathbb{N}\overrightarrow{\rightarrow} A^{\mathbb{N}}$ ), and what is

A $A$ ? Or maybe suggest an appropriate tutorial?

— Neal Young

Slides 45 and 46 in math.andrej.com/wp-content/uploads/2007/05/syncomp-mfps23.pdf (the good news is that now I have a definite plan and a deadline for writing up an extensive paper on synthetic computability).

— Andrej Bauer