在日志空间中可以确定界宽SAT吗？

Elberfeld，Jakoby和Tantau 2010（ECCC TR10-062）证明了Bodlaender定理的一种节省空间的版本。他们表明，对于树宽度最大为，可以使用对数空间找到宽度为的树分解。空间界限中的常数因子取决于。（Bodlaender定理显示了线性时限，在常数因子中对呈指数依赖性。）$k$$k$$k$$k$

当子句集的宽度较小时，SAT变得容易。具体而言，Fischer，Makowsky和Ravve 2008表明，当给出树分解时，最多可以用算术运算来确定入射角图的树宽为的CNF公式的可满足性。根据Bodlaender定理，可以在线性时间内完成固定入射图的树分解计算，因此可以及时确定有界树宽公式的SAT，这是变量的低次多项式。2 O （k ） n k $k$$2^{O(k)} n$$k$$n$

然后可能会期望，对于入射图的有界树宽的公式，使用对数空间实际上可以确定SAT。目前尚不清楚如何修改Fischer等人。确定SAT节省空间的方法。该算法的工作原理是通过包含-排除来计算解决方案数量的表达式，然后递归评估较小公式的解决方案数量。尽管有界树宽确实有帮助，但子公式似乎太大，无法在对数空间中进行计算。

这使我问：

SAT的有界树宽公式是否已知在或？N $\mathsf{L}$$\mathsf{NL}$

的确，使用Elberfeld-Jakoby-Tantau-2010中的结果，可以证明SAT可以在对数空间中根据入射图限制树宽的公式确定。这是证明此主张的主要步骤的示意图。

1. 可以将树分解和树宽的概念概括为任意关系结构。例如，参见Dalmau，Kolaitis和Vardi撰写的本文的第2部分和第3部分 。
2. Courcelle定理指出，MSO逻辑可以在线性时间上由恒定树宽的关系结构决定。
3. Bodlaender的定理意味着如果一个关系结构具有树宽，那么这种结构的树分解可以在时间发现˚F （吨）⋅ Ñ。换句话说，这种分解可以在线性时间的恒定树宽图上找到。$t$$f(t)\cdot n$
4. 可以定义合适的关系结构，该关系结构可以用来对公式F及其入射图I进行编码。τ的树宽最大为常数加I的树宽。$\tau$$F$$I$$\tau$$I$
5. 编码可满足的公式及其入射图的一组关系结构是可定义的MSO。$\tau$
6. 因此，通过Bodlander + Courcelle定理，可以确定恒定树宽的公式在线性时间内是否可满足。
7. Elberfeld-Jakoby-Tantau-2010表明，在Bodlaender和Courcelle定理上，“线性时间”都可以用“对数空间”代替。
8. 因此，对于每个MSO公式和每个关系结构τ，可以在对数空间中确定τ是否满足φ。$\varphi$$\tau$$\tau$$\varphi$
9. 特别是，可以在对数空间中在恒定树宽图上确定SAT。