有效地在稀疏图中找到5个循环。

（来自MathOverflow）

你好

我想在图中找到5个周期。实际上，我真正想要的是长度至少为5的最短奇数周期，但也许这有点离题。出于我的目的，在复杂度分析中我将和视为相同。 $m$ $n$

在这种情况下，我们能比彩色编码做得更好吗？让我具体说明我的问题：

使得有 -时间算法来检测长度为5的循环的最小是多少？什么是算法？如果禁止不切实际的方法（例如Coppersmith-Winograd快速矩阵乘法），此是什么？ $\alpha$ $O(m^\alpha)$ $\alpha$

ds.algorithms graph-theory graph-algorithms sparse-matrix

— 安德鲁·金
source

来自MO的Crosspost。

— 张显之张张之之

除了稀疏之外，您的图是否还有其他特殊结构？（例如，低退化性。）

— 罗宾·科塔里

不，您可以根据需要使图形具有极高的破坏性。实际上，我什至都不在乎该图是否稀疏：我正在考虑一个线图以及它的基础图这样（我们可以假设很简单）。我对待和同样，我知道我想根据分析复杂度和，但是我无话可说

与

。

G

$G$

H

$H$

G = L (H)

$G=L(H)$

H

$H$

| E (H) |

$|E(H)|$

| V (H) |

$|V(H)|$

| E (H) | = | V (G) |

$|E(H)|=|V(G)|$

| V (G) |

$|V(G)|$

| E (G) |

$|E(G)|$

| E (H) |

$|E(H)|$

| V (H) |

$|V(H)|$

— 安德鲁·金

明确地说，您不介意循环中是否包含重复的顶点，对吗？

— user834 2010年

我不允许重复的顶点，但是对于5个周期而言，这并不重要，因为我认为图形很简单，因此没有2个周期。

— Andrew D. King 2010年

Answers:

要添加到Mihai的答案中：

确实，使用高/低技巧，稀疏图中的5周期（通常是周期）比时间要快得多。您只需要看Alon，Yuster和Zwick的另一篇文章： $k$ $O(mn)$

例如，可以在时间内找到5个周期，而与矩阵乘法无关。参见以上链接论文的定理3.4。 $O(m^{1.67})$

同样，虽然将5周期检测简化为布尔矩阵乘法（具有恒定的因子开销）并不是很困难，但是在彩色编码纸中不会出现相反方向的减小。从布尔矩阵乘法到5周期检测的严格减少（保留运行时的复杂性）是未知的。

— 瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）
source

稠密的情况实质上等效于通过颜色编码进行的布尔矩阵乘法。请参阅http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.103.5167&rep=rep1&type=pdf。

对于稀疏图，由于[B] ，存在时间为的算法。莫妮恩（Annien），《如何有效地寻找长路》，安。离散数学，25（1985），第239-254页]。我怀疑通过高/低技巧可以实现更好的效果。 $O(mn)$

— 米海
source

谢谢！我将在有机会时查看Monien论文。

— 安德鲁·金