检查两个单词是否在某种语言中有交织的复杂性

对于固定语言 $L$ 在某些字母上 $A$，让我们考虑以下问题，我称之为 $L$交错：

• 输入：两个字 $u, v \in A^*$
• 输出：是否存在一个交错的$u$ 和 $v$ 在里面 $L$。

在这里，两个单词的交织$u$ 和 $v$ 是一个字 $w$ 可以通过取字母来直观地获得 $u$ 和 $v$同时保持其相对秩序。正式地，$w$ 是 $u$ 和 $v$ 如果我们可以将其划分为两个不相交的子序列，一个等于 $u$ 另一个等于 $v$。例如，“ bheleloll”是“ hello”和“ bell”的交错。

的复杂性是什么 $L$-interleaving问题，取决于语言 $L$？特别是：

• 如果 $L$是常规的，那么我们可以对这两个字符串使用动态算法解决问题，这表明它在NL类中。对某些常规语言来说，NL难吗？但是，对于某些常规语言，问题显然出在L（确定性日志空间）中。L中存在问题的语言是否有某种特征？
• 如果 $L$ 是不规则的，问题仍然存在于NL中 $L$具有多项式在线确定性空间复杂度（有关此概念，请参阅此处，或者我之前的问题）。但是，这并不包括例如所有上下文无关的语言。然而，也可以将其他一些（例如回文）显示为NL（例如，通过从头到尾同时执行动态算法）。有没有上下文无关的语言，$L$-交织问题是NP难吗？

一句话 $w=w_1\ldots w_{\ell}$ 和两个整数 $i,j$ 与 $1\le i\le j\le \ell$ 我们用 $w(i,j)$ 子词 $w_iw_{i+1}\ldots w_j$ 的 $w$。此外，我们让$w(0,0)$ 表示空词。

• 让 $u=u_1\ldots u_m$ 和 $v=v_1\ldots v_n$ 是正在考虑的两个词。
• 假设上下文无关的语言 $L$ 由Chomsky范式的上下文无关语法指定。

构造一个动态程序，其中一个状态 $[i,j,r,s,A]$ 由指定

• 两个整数 $i,j$ 与 $1\le i\le j\le m$ 要么 $i=j=0$
• 两个整数 $r,s$ 与 $1\le r\le s\le n$ 要么 $r=s=0$
• 非终结符 $A$ 在上下文无关的语法中

对于每个状态，确定在上下文无关的语法中是否存在以非终结符开头的某些派生 $A$ 最后是两个单词的交错 $u(i,j)$ 和 $w(r,s)$。如果以正确的顺序处理状态（短子字在长子字之前），则可以轻松地做出此决定。

总而言之，这产生了多项式时间算法 $L$上下文无关的语言的交织问题 $L$。