DLogTime和NLogTime的电路复杂度特性

N L o g T i m e L H A C 0 L $\mathsf{DLogTime}$和是我们拥有的最小的复杂度类中的两个。（请注意，对数时间层次等于并且这是的前两个级别）。$\mathsf{NLogTime}$$\mathsf{LH}$$\mathsf{AC}^0$$\mathsf{LH}$

读完这个问题之后，我开始感兴趣，看看这两个类之间的分隔是否已知，并且实际上很容易分隔它们，因为（多亏罗宾科塔参见已知）。现在，我很想知道它们相应的电路复杂度表征。我进行了搜索，并询问了一些人，但找不到答案。$OR(x_1,...,x_n) \in \mathsf{NLogTime}-\mathsf{DLogTime}$

对于复杂度类和我们是否具有很好的电路复杂度表征？N L o g T i m $\mathsf{DLogTime}$$\mathsf{NLogTime}$

注意：在为小型复杂度类定义统一性方面显示了很多内容。请注意，较短的时间限制不允许这些机器读取整个输入，它们只能从输入中读取位，并且使用可以写入位地址然后直接读取该位的机器定义类（即，无需遍历所有先前的位即可到达那里）。 LG $\mathsf{DLogTime}$$\lg n$

我认为，与VLSI社区相比，CS复杂度理论所使用的电路复杂度类别做出不同的预测和使用不同的度量标准要有趣得多。从布尔函数的VLSI复杂度来看：

众所周知，变量的所有布尔函数都可以由具有门的逻辑电路来计算（卢帕诺夫定理），并且存在n个变量的布尔函数需要这种大小的逻辑电路（香农定理）。我们使用VLSI芯片的汤普森模型，给出了由VLSI电路计算的布尔函数的相应结果。我们证明变量的所有布尔函数都可以通过面积为的VLSI电路来计算，并且我们证明存在变量的布尔函数，每个（凸）VLSI芯片都必须具有区域。ø （2 Ñ / Ñ ）ñ Ô （2 Ñ）Ñ Ω （2 Ñ$n$$O(2^n/n)$$n$$O(2^n)$$n$$\Omega(2^n)$

有趣的是，VLSI电路复杂性倾向于将深度视为“无关紧要”，因为只有一个重要的“深度”是关键路径。对于大多数实际目的，可以将任意复杂的电路视为延迟为。$O(1)$$n$

$DLogTime$$NLogTime$$2^n/n$$\le2$$area^2$ 来自商业VLSI标准单元库的规范化为2输入NAND门的大小：

        2 3 4 <-阿里
和1.14 1.28 1.41
nand 1.00 1.14 1.28
或1.14 1.41 1.41
也不是1.00 1.14 1.41
异或1.62 2.44
xnor 1.62 2.44

buf 1.14
INV 0.80

aoi22 1.28
aoi222 1.62
aoi33 1.62
oai22 1.41
oai222 1.72
oai33 1.62

addf 2.64

具体地，请注意aoi/ oai其栅极And Or Invert/ Or And Invert由元数尺寸第一功能进给第二功能，其中的数量第一功能栅极等于次数元数出现。例如，aoi22表示“两个2输入与门馈入或非门”。

我的观点是：单独而言，oai222可以使用三个2输入或门和一个3输入与非门来构建功能，总面积约为4.56，不包括用于互连的任何面积。然而，该原语可以在仅1.72的区域中实现，这意味着相同布尔函数的离散形式消耗的区域多2.65倍。

$n$$n\ge2$$n$

与更复杂的基元相比，传播特性也明显优于使用离散门实现的特性。

$\mathcal{P}$$\mathcal{NP}$

$\mathcal{P} \ne \mathcal{NP}$$\mathcal{NP}$$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$f$$2^n/n$$\mathcal{NP}$。

$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$\mathcal{NP}$$\{0,1\}^n$$2^n/n$$n$$n$$\mathcal{NP}$$\mathcal{NP}$$2^n/n$

关于VLSI实现的复杂性和布尔函数的图形表示形式及其在整数乘法中的应用表明，使用OBDD模型预测电路复杂度会高估实际电路复杂度：

$AT^2 = \Omega (n^2)$$\Omega(c^n)$$c<1$$AT^2 = O(n^{1+c})$

$n$$2n-1$$i-1$$2n-i-1$$1\le i\le n$$AT^2 = \Omega(i^2)$$\Omega(1.09^i)$