Razborov近似方法的高级概述

Razborov的近似方法是什么？有人可以提供高层次的概述及其背后的直觉吗？

让 $f$ 成为布尔函数 $n$位。让$Z = f^{-1}(0) \subseteq 2^n$。让$C$ 电路大小为n位，大小为 $m$ 和门 $g_1, \ldots, g_m$。 $g_i$ 也表示功能 $n$子电路使用 $g_i$作为最后的大门。首先$n$ 门是输入 $x_1, \ldots, x_n$。目的是表明$C$ 大小 $m$ 无法计算 $f$。考虑所有的计算$C$ 来自的输入 $Z$。计算将值分配给门的输出。让$B$ 是的布尔代数 $P(Z)$。

这个想法是考虑任何功能 $g$ 上 $n$位近似程度 $f$ 上 $Z$。让$||g|| = \{w \in Z \mid g(w) \neq 0 \}$。

对于超滤器 $F \subseteq B$ 我们可以根据它通过ultraproduct定义一个新的计算： $c(g_i) = 0$ iff $||g_i|| \not\in F$。因为超滤器本质上是针对0值的一组一致计算，所以结果$c$是有效的计算。它将遵循$f(c_1, \ldots, c_n) = 0$。我们从现有的计算中创建了一个新的计算。由于有限集上的所有超滤器都是主体$c_1,\ldots,c_n \in Z$。这适用于任何电路，我们还没有利用电路大小的事实$m$。

现在的下一个想法是利用电路的有限性来构造外部的新输入 $Z$ 和 $f(w) \neq 0$ 但是电路由于大小有限而没有注意到，因此仍然输出0。因此它不进行计算 $f$。

我们需要放宽对Ultrafilter的定义，以便我们可以在外部获得输入 $Z$。代替超滤器，我们使用向上封闭的子集$B$ （$a \in F$ 和 $a \subseteq b$ 暗示 $b \in F$保留符合（）$a,b \in F$ 暗示 $a \cap b \in F$）。

让 $W_F = \{w \in 2^n \mid w_i = 0 \to ||\lnot x_i|| \in F, w_i \neq 0 \to ||x_i|| \in F\}$。 $W_F$ 输入的集合是否与 $F$。如果$F$ 是素数（$a \cup b \in F$ 暗示 $a \in F$ 要么 $b \in F$）和不完整的（$\emptyset \not\in F$）然后每个 $i$， $F$ 包含 $||x_i||$ 要么 $||\lnot x_i||$ 和 $W_F$ 仅包含一个输入。

我们将放松聚会的保存。代替布尔代数中的所有满足，我们将保留其中的一小部分。让$|f|$ 是最小的数字 $k$ 的满足 $M = (a_1 \cap b_1, \ldots, a_k \cap b_k)$ 这样对于所有向上闭合的，非完全的 $M$-保存 $F$， $W_F \subseteq Z$。

让 $m$ 的电路复杂度 $f$。拉兹伯罗夫证明了$\frac{1}{2}|f| \leq m \leq O(|f|^3 + n^3)$。

请注意，这种不等式适用于所有函数。证明电路尺寸的下限$m$ 证明一切 $m$-会议 $M$，有一个 $F$ 满足条件，但它 $W_F$ 不包含在 $Z$。此外，由于第二个不等式，任何强电路下限都可以用这种方法证明。

电路下限证明的实际部分是为了证明给定 $m$，对于任何 $m$-满足有这样一个 $F$。在单调电路的情况下$W_F$ 简化为 $w_i \neq 0 \to ||x_i|| \in F$ 所以想出 $F$ 更容易。

亚历山大·拉兹伯罗夫（Alexander Razborov），《近似方法》，1989年 。pdf

毛里西奥·科奇默（Mauricio Karchmer），《证明电路规模的下界》，1995年。

蒂姆·高尔斯（Tim Gowers），拉兹伯罗夫（Razborov）的近似方法，2009年。pdf

免责声明：这只是一个高层次的概述，旨在使您对Blum最近的论文中使用的方法有一些直觉。

我将尝试使用与上述论文中所使用的符号更接近的符号。

让 $f$ 成为布尔函数 $n$ 变数 $x_1,\dots,x_n$。假设我们要证明任何布尔网络计算$f$ 具有大尺寸。

给定一些布尔网络 $\beta$ 计算 $f$ 在其输出节点上，请考虑以下过程。

1. 订购门 $\beta$ 根据一些拓扑顺序 $g_1,g_2,\dots,g_m$ 最后一个节点是输出节点。
2. 对于每个时间步 $t=1,\dots,m$我们将近似在闸口计算的函数$g_t$ 通过“简单”功能 $f_{g_t}$。这种近似可能会改变在下游节点计算的函数$g_t$ （特别是输出节点上的功能 $g_m$ 可能已更改）。

在此过程结束时，我们将近似计算在 $g_m$ 通过一个简单的功能 $f_{g_m}$。

接下来构造一组测试输入 $T\subseteq \{0,1\}^n$。

假设我们可以证明以下陈述：

• 每个单个节点的近似值都很好（即，最多 $e$-许多错误来自输入 $T$ 在每个近似步骤中）。
• 没有简单的函数近似 $f$ 好（例如，对于任何简单的功能 $f_{g_m}$， 我们有 $f_{g_m}\neq f$ 超过一个 $d$的分数 $T$）。

然后，通过简单地计算错误数量，我们可以得出 $\beta$ 必须至少有 $\tfrac{d\lvert T\rvert}{e}$-很多门。

如果可以证明这种近似方案适用于任何网络 $\beta$ 计算功能 $f$，则得出电路复杂度的下限 $f$。