确定二进制乘法的最高有效位

我有兴趣确定以下决策问题的复杂性：给定两个整数和（每个整数最多具有m位），请确定乘法的最高有效位是否为1（结果打印在2m位，可能以0开头）？ $l_1$ $l_2$ $l_1 \cdot l_2$

问题的一些背景：显然，此问题是二进制乘法的一种特殊情况，它询问乘法第位是否为1。在他们的论文中，用于除法和迭代乘法的统一恒定深度阈值电路，Hesse，Allender和Barrington证明了 - 统一存在迭代（因此是二进制）乘法。此外，众所周知，二进制乘法已经是 - 统一 $i$ $l_1 \cdot l_2$ $\mathsf{DLogTime}$ $\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{DLogTime}$ $\mathsf{TC}^0$ -硬。但是，我找不到能证明这种硬度结果的特定来源。作为电路复杂性的非专家，我也希望能得到指向这种一般硬度结果的指针。最后，假设二进制乘法是 - 统一难的，我的问题也可以被理解为：它保持 - 统一 -如果我们只想决定二进制乘法的最高有效位，那很难吗？ $\mathsf{DLogTime}$ $\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{DLogTime}$ $\mathsf{TC}^0$

更新：Kaveh的答案阐明了为什么二进制乘法是 -hard（从COUNT减少）。确定二进制乘法的最高有效位的精确复杂性仍然是未知的（赏金是这个问题）。 $\mathsf{TC}^0$

cc.complexity-theory circuit-complexity

— 嘿嘿嘿
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描述复杂性书iirc中有一个证明。不知道您所说的最高有效位是什么，根据定义它始终是最高的。

— 卡夫

这只是您老师的一个笑话：位是0或1，最高有效位是最高位置的非0位。根据定义，它等于1（除非因子和为零）。

l_{1}

$l_1$

l_{2}

$l_2$

— 加莫

@Kaveh感谢您的参考：我会检查一下。对于最重要的位所造成的混乱，我们深表歉意。我隐式地假设结果以2m-1位打印，如有必要，以0开头。

— Heyheyhey

@Kaveh：在描述性复杂性书中，只提到了上限。但是，我找不到关于二进制乘法的硬度的任何信息。

— Heyheyhey

您写道：“此外，二进制乘法似乎已经 - 统一 -hard ，这是众所周知的。” 为什么看起来如此？我知道二进制乘法不在，而这正是我目前所关心的。

D L o g T i m e

$\mathsf{DLogTime}$

{T C}^{0}

$\mathsf{TC}^0$

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

— 托马斯·克里姆佩尔

乘法已完成，这是众所周知的结果。减少来自Count（二进制数中1位的数目）。二进制数的比较位于因此可简化为。 $\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{Majority}$ $\mathsf{Count}$

要将减少为请执行以下操作：考虑输入为。在 s 之间插入 0s 并将其称为。与乘法它这就好比不同之处在于 S IN它与1秒代替。选择。中间部分的数字就是答案。减少量在，显示。 $\mathsf{Count}$ $\mathsf{Mult}$ $a_0a_1\ldots a_n$ $k$ $a_i$ $a$ $b$ $a$ $a_i$ $k>3n$ $ab$ $\mathsf{FO}$ $\mathsf{Count} \in \mathsf{FO(Mult)}$

— 卡韦
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感谢您的回答！是的，这验证了TC0的二进制乘法是否完成。至于最重要的部分，还有一些问题。乘法的最高有效位（111 x 111）= 110001为1，而对于这个（100 x 100）= 010000，则为0。请注意，在两种情况下，被乘数的最高有效位相同。因此，我认为一般而言，将最高有效位相加是不够的。我想念什么吗？

— Heyheyhey

如果且，则的MSB为0，而的MSB 为1 ，即使和只能在一个最低有效位上有所不同。

x = ⌊ 2^{n + 1 / 2} ⌋

$x=\lfloor2^{n+1/2}\rfloor$

y = ⌈ 2^{n + 1 / 2} ⌉

$y=\lceil2^{n+1/2}\rceil$

x^{2}

$x^2$

y^{2}

$y^2$

x

$x$

y

$y$

— EmilJeřábek'17

编辑不正确。由于我们要添加m个数字，因此进位可能不止一位，而是对数m。决定传播多少变得更加困难。

— EmilJeřábek'17

实际上，无视其他所有内容：计算单个位置（例如，中间位置）的进位额已经等于Count，因此TC ^ 0-complete。

— EmilJeřábek'17

@Heyheyhey，我写的公式是FO，因此是统一的AC0。

— 卡夫