图同构和隐藏子组

我试图了解图同构与隐藏子组问题之间的关系。有很好的参考吗？

可以在martinschwarz的答案中找到参考，但这是对一些减少的总结。

对称群通过置换顶点作用于n个顶点的图上。确定两个图是否是同构的，在多项式时间上等同于计算的多项式大小生成集。$S_n$$Aut(G)$

通过对称组（其中是图中的变量数）简化为HSP 。函数是其中是在置换，和是的置换版本。然后，在陪集上是恒定的，而在不同的陪集上是不同的（请注意的图像包括与同构的所有图。由于隐藏的子组恰好是，因此，如果我们可以求解此HSP，则将具有的生成集$S_n$$n$$f$$f(p)=p(G)$$p$$S_n$$p(G)$$G$$f$$Aut(G)$$f$$G$$Aut(G)$$Aut(G)$，这是解决GI所需要的全部（请参见上文）。

通过还原为HSP 。如果我们想知道个顶点上的两个图和是否同构，请考虑图，它是个顶点上和的不相交的并集。让通过将与交换为作用于顶点。任一或。和以前一样，令其中$S_n \wr \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$G$$H$$n$$K$$G$$H$$2n$$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$i$$n+i$$i=1,...,n$$Aut(K) = Aut(G) \times Aut(H)$$Aut(K) = (Aut(G) \times Aut(H)) semidirect \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$f(x)=x(K)$$x$现在是的元素，它按所述作用于与关联的隐藏子组恰好是，如先前的归约法所述。如果我们解决此HSP，我们将获得的生成集。它是那么容易检查发电机组是否包含任何元素互换的拷贝与副本内部（具有非平凡分量）。$S_n \wr \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$K$$f$$Aut(K)$$Aut(K)$$G$$H$$K$$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$

您可能想阅读Dave Bacon最近关于Graph Isomorphism的博客文章，并提供相关文献链接。

Andrew Childs和Wim van Dam arXiv：0812.0380撰写的 “代数问题的量子算法” 是一篇非常好的调查论文，其中很好地介绍了非阿贝尔HSP及其与图同构的关系。