半填充幻方问题NP是否完全？

这是问题所在：

在某些单元格中，我们有一个正方形，上面有一些来自1..N的数字。需要确定它是否可以完成到魔方。

例子：

2 _ 6       2 7 6
_ 5 1  >>>  9 5 1
4 3 _       4 3 8

7 _ _ 
9 _ _  >>>  NO SOLUTION 
8 _ _

这个问题NP是否完整？如果可以，我如何证明？

MS上的Crosspost

NP-Complete填充部分填充的拉丁方。“完成部分拉丁方的复杂性” Charles J. Colbourn。离散应用数学，1984年4月，第1卷，第8卷，第25-30页http://dx.doi.org/10.1016/0166-218X(84)90075-1

通过模块算术，拉丁方问题可以变成魔术方问题吗？我的直觉说是，但我的其余大脑说“回到评分！”

这个问题包括两个部分：第一，NP中的问题，第二，NP难吗？

对于第一部分，我给出了肯定的答案，但没有明显的证据。（感谢Suresh指出了先前的错误。）

考虑以下方式将问题形式化为决策问题：

不受约束的魔方补全
输入：以一进制给定的正整数，在乘网格中的位置的整数列表问题：在网格中的其余位置是否存在整数，以便该排列形成一个魔方？$n$$n$$n$

如果加上限制，即整数必须在幻方中恰好出现一次，那么由此产生的MAGIC SQUARE COMPLETION决策问题显然在NP中。紧随欧拉之后的1911年《大英百科全书》中关于魔方的定义有此限制；相反，Wikipedia文章当前使用术语“正常魔术方格”，并为非限制版本保留“魔术方格”。$1,2,\dots,n^2$

用乘$n$$n$$n$$n$$n$

$n^2$

$x_i = 1$$x_i = x_j + x_k$$i,j,k \in \{1,2,\dots,n\}$$x_i$$\sqrt{5}^{n-1}$

这也以定理4.7出现在：

• Apoloniusz Tyszka，关于R和C中的算术的两个猜想，数学。日志。夸脱。56 175-184，2010。

$2^n$$2^{n-1}$

$x_i = 1$$x_i = x_j + x_k$$i,j,k \in \{1,2,\dots,n\}$$x_i$$2^n$

$2^{n-1}$

这将产生以下结果：

$N$$2^{O(N^2)}$

$O(N^4)$$O(N^8)$$n^2 + 2(n+1)(n-2)+1 = 3n^2-2n-3$$n-2$$m$$O(m^2)$

$n$

使用Papadimitriou对INTEGER LINEAR PROGRAMMING实例的解的约束，还可以表明数字必须全部为负数的版本也位于NP中。

$A$$r \times s$$b$$r$$\{-a, -a+1, \dots, a-1, a\}$$Ax = b$$\{0,1,\dots,s(ra)^{2r+1}\}$

$a=1$$s=n^2+1$$r=2n+2$

• Christos H. Papadimitriou，关于整数编程的复杂性，JACM 28 765–768，1981年。（link）