高阶程序的程序反转算法

程序反转一词具有多种含义，但可能始于麦卡锡（J. McCarthy）1956年的著作《图灵机在AI中定义的功能反转》。到目前为止，已经发现了程序反转和其他领域之间的许多联系，例如可逆编程（物理和逻辑），部分评估，验证，双向编程，逻辑编程和机器学习。

什么是程序反转？在第一个近似中，它是这样的：给定程序接受类型参数并返回类型结果，产生一个程序，它“某种程度上”是的逆。我故意在这里含糊不清，因为可以用多种方式（和已经）阐明这个概念：例如，必须是内射的？是否应返回所有或部分，使得？ $P : A \rightarrow B$ $A$ $B$ $P^{-1}$ $P$ $P$ $P^{-1}(b)$ $a$ $P(a) = b$

有一些通用的方法可以使程序求逆，例如使用麦卡锡已经指出的对角化或使用部分评估，但它们往往效率不高。同样，我熟悉的大多数程序反转工作似乎都无法处理完整的高阶编程语言（即 -calculi）。 $\lambda$

参考要求。用于 -calculi的程序求逆的显式算法的最新技术是什么（不限制高阶）？ $\lambda$

— 马丁·伯格
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这个空间中没有大量的工作，但是有什么工作很有趣。

Torben Mogensen致力于解决这个问题。这是他的两篇论文。

第一篇论文给出了用于一阶功能程序的算法，第二篇论文将其扩展到了高阶。该算法何时成功的精确表征留待以后的工作。
- 保护方程的半反演
- 功能参数的半反转
横山哲夫，霍尔格·博克·阿克塞尔森和罗伯特·格吕克。

这描述了RFun编程语言，该语言可反转一阶功能程序，但会强制执行内插性和向后确定性约束，从而确保向后评估与向前一样快。（他们还写了许多其他有关此主题的论文，我很难掌握。）
- 迈向可逆功能语言。
Stefan Bohne和BaltasarTrancónWidemann。

这是一张非常整齐的纸！它观察到（a）您可以构造一个态，其中态素是与它们的逆成对的函数（对于您使用的逆的任何特定概念），以及（b）此类别具有匕首紧凑结构。这意味着您可以编写带有线性样式规则的程序，然后从语义中读取前后解释。

它们提供了一种具有相当狂野的语法的功能语言：几乎任意的表达式都可以用作模式，而可逆性使其变得明智。
- 广义可逆函数编程的一种方法
Francesco Tiezzia，吉田信子

我没有读过这篇文章，只是在谷歌搜索其他论文时才发现它。考虑到作者和主题，我怀疑这就是您的胡同！
- 基于可逆会话的pi演算

— 尼尔·克里希纳斯瓦米（Neel Krishnaswami）
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谢谢。（2，3，4）不执行程序反转，而是设计程序语言，根据定义，程序是可逆的。这是一个密切相关但又不同的问题。实际上，我对这些问题的关系尚不完全清楚。我可能没有解决过半反转问题，因为反转似乎是半反转的边缘情况？BTW Mogensen的第二篇论文仅排名第二。

— Martin Berger

@MartinBerger：我猜这种关系取决于您要使用程序反转的目的！我对这个问题很感兴趣，因为我正在研究类型推断（如果您具有类型级别的函数，则能够将这些函数求反以找出量词的实例化很有用），因此限制语言不是我。你想做什么？

— Neel Krishnaswami

现在，我对一般的抽象问题感兴趣。我对程序反转的兴趣来自程序验证。而且我找不到任何仅使用lambda术语（来自PCF称谓或STLC）并将其求逆的地方。是因为我找错地方了吗？

— Martin Berger