关于计数和组合中的Pfaffian方法

最近，我正在浏览全息算法的介绍。我遇到了一些称为Pfaffians的组合对象。目前，我对这些信息还不太了解，并遇到了一些可以加以利用的令人惊讶的用法。

例如，我知道它们可以用来有效地计算平面图中完美匹配的数量。同样，它们也可用于计算使用2 * 1瓦片的棋盘可能平铺的数量。平铺连接对我来说似乎很好奇，我尝试在网络上搜索更多相关的资料，但在大多数地方，我只发现了有关连接的一两个陈述，而没有其他发现。

我只是想问问是否有人可以建议参考相关文献，因为那确实很棒，我期待学习一些相关材料。

（这对我来说是一个有趣的问题，因为我也在阅读有关Pfaffian的文章。）

我建议以下参考：

• Lovasz和Plummer 撰写的精彩著作《匹配理论》第8章。
• 本文赛区免费算法的行列式和PFA FFI的：代数和组合方法死记硬背。本文将Pfaffian与称为交替闭合步行序列（aka交替clow序列）的组合对象相关联，这为我们提供了一种动态（无除法）算法来计算Pfaffian。
• Stembridge撰写的论文《不相交的路径，方法和平面分区》介绍了如何使用Pfaffian枚举组合函数中的配置。本文还提供了基本身份的组合证明，例如，

  如果是斜对称矩阵，则p f（A ）2 = d e t（A ）。$A$$\mathsf{pf}(A)^2 = \mathsf{det}(A)$

您可能会发现有关Pfaffian电路的本文及其中的参考文献很有趣；我的意思是将它作为全息算法的独立介绍，并探讨使用Pfaffians可以完成的工作。

这本来应该是个评论，但是由于篇幅所限，我将其发布为答案。

感谢大家的回答和评论。最近，我遇到了Robin Thomas进行的另一项调查。您可以在这里找到它http://people.math.gatech.edu/~thomas/PAP/pfafsurv.pdf。

除此之外，我还要添加一个有关平铺连接的声明（Dana Randall教授已向我指出）。如果采用双晶格，则2x1多米诺骨牌只是边缘。因此，完美的平铺正是对偶的完美匹配。然后，Pfaffians理论可以用于计算平面图中的完美匹配。

这意味着您可以只专注于计算图形中的完美匹配-其余的仅是琐碎的。

Charles Little，Fischer，McCaig，Robertson，Seymour和Thomas，Loebl，Galluccio，Tesler，Miranda，Lucchesi，de Carvalho和Murty（我现在想到的那些）也完成了工作。