这个图问题的复杂性是什么？

给定一个简单的无向图，找到顶点的子集，使得 $G$ $A\neq \emptyset$

对于任何顶点在邻居的至少一半也是，和 $x\in A$ $x$ $A$
的大小 $A$ 最小。

也就是说，我们正在寻找一个簇，其中每个内部顶点的邻域中至少有一半保持内部。因为整个顶点集 $V(G)$ 始终具有属性1 ，所以这样一个集群的存在是显而易见的。但是，找到最小（非空）的此类集群有多难呢？

这个问题有标准名称吗？对它的复杂性了解多少？

graph-theory graph-algorithms np-hardness

似乎是“ 满意分区”问题的变体。我不知道您的变体是否已知并且已经被证明是NPC。但可能从K-集团的减少应该工作：链接每个节点原始图的至一个的节点大小的“外部集团”每个节点有外部集团）。然后，当且仅当原始图中存在 -clique时，您才能找到大小为的非平凡集合（必须至少选择一个节点，但必须避免任何外部集团）。但这只是一个想法。如果我有足够的时间，我将尝试查看减少幅度是否正确。

v_{i}

$v_i$

k + 1

$k+1$

C_{i}

$C_i$

2 (k + 1)

$2(k+1)$

A

$A$

k

$k$

k

$k$

— Marzio De Biasi

@MarzioDeBiasi谢谢，经过一番搜索，我发现满意分区问题确实与之相关。但是，在我能找到的每个变体中，它们都在寻找一个分区， 而不是单个集合。目前尚不清楚它们之间的关系。在您的简化中，除非我误解了，否则原始图的 -clique不满足定义，因为其中的每个节点将具有内部邻居，但至少外部邻居（由于添加了外部）集团。

k

$k$

k - 1

$k-1$

k + 1

$k+1$

— 安德拉斯·法拉戈

我认为这个问题被称为“防御联盟”

— daniello

@daniello：太好了，我在调查IG Yero中进行了搜索，JA Rodriguez-Velazquez，“图表中的防御联盟：一项调查”，2013年，但没有找到“一半”这个词；当我有足够的时间时，我会仔细阅读；OP问题很可能已经众所周知！

— Marzio De Biasi

它似乎被表述为“每个顶点在内部和外部的邻居至少一样多”，这与在舍入之前的问题相同，并且可能包括/不包括顶点本身

— daniello

这是从Clique到您的问题的简化。

我们先从派的一个实例：图和整数，让。 $G$ $k$ $V = \{ v_1, v_2,...,v_n\}$

集团仍然NPC即使在该约束（证明草图：如果然后添加其中 $max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$ $max(deg(v_i) > 2(k-1)$ $K_t$ 并将其连接到的所有节点并要求大小的集团在新的图）。 $t = 2(k-1) - max(deg(v_i))$ $G$ $k' = k + t$

因此，我们假设，在，。对于每个节点为其中我们创建了一个“外部”集团大小的（每隔的节点 $G$ $max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$ $v_i$ $deg(v_i) < 2(k-1)$ $C_i$ $2(k+1)+1$ 集团至少有邻居。 $C_i$ $2(k+1)$

如果是的程度，我们连接到的节点。 $deg(v_i)$ $v_i$ $v_i$ $2(k-1) - deg(v_i)$ $C_i$

在所得的，每个数为 ; 所以因为至少一个顶点必须被选择。 $G'$ $v_i$ $2(k-1)$ $|A| \geq k$

清楚的是，如果所述顶点之一被包括在然后至少节点还必须在它被插入。请注意，如果原始节点具有然后被链接中的至少一个节点必须包括，导致。 $C_i$ $A$ $2(k+1)/2 = k+1$ $deg(v_i) < k-1$ $C_i$ $|A| > k$

因此我们可以建立最小尺寸的集合当且仅当包含尺寸的集团。 $A$ $|A| = k$ $G$ $k$

一个简化的例子，我们询问由黄色节点和粗体边表示的图形是否包含大小为（三角形）的集团。 $G$ $k = 3$

蓝色节点（为了更好的可读性而分组）为，红色边缘为节点之间的链接，且。 $K_9$ $G$ $deg(v_i) < 2(k-1)$

— 马齐奥·德·比亚西（Marzio De Biasi）
source

@WillardZhan：由于每个顶点

具有度

通过构造，因此，如果

包含一个顶点，它必须包含至少

邻居（和相同的适用于

所有顶点，因此

。“最小尺寸”

可以实现仅当

是大小为集团

。

G^{'}

$G'$

\geq 2 (k - 1)

$\geq 2(k-1)$

A

$A$

2 (k - 1) / 2 = k - 1

$2(k-1)/2 = k-1$

A

$A$

| A | \geq k

$|A| \geq k$

k

$k$

A

$A$

k

$k$

— Marzio De Biasi

@WillardZhan：我在开始的派系问题中添加了另一个条件（但它应该仍然是NPC）...我仍在检查它（不是完全相信它的正确性）。

— Marzio De Biasi

是的，现在它完美的作品（尽管它应该是

中的表达

）。也许我将删除我的评论？

k^{'}

$k'$

t

$t$

— 威拉德·詹

(G, k)

$(G,k)$

m a x (d e g (v_{i})) \leq 2 (k - 1)

$max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$

(G^{'}, k^{'})

$(G',k')$

t

$t$