包含常规语言的参数化复杂性

我对经典语言“常规语言包容”感兴趣。给定一个正则表达式，我们用L （E ）表示与其相关的正则语言。（正则表达式位于固定的字母Σ上，并带有联合，Kleene-star和串联运算。）$E$$L(E)$$\Sigma$

输入：两个正则表达式和Ë 2问：这是真的，大号（ē 1）⊆ 大号（ē 2）？$E_1$$E_2$
$L(E_1)\subseteq L(E_2)$

已知常规语言包含PSPACE完整[1]。

经典的方式来解决这个问题（在PSPACE）是构建的NFA 和阿2关联到ë 1和ë 2，建立一个DFA d 2从阿2，它补充成DFA d Ç 2，最后，从A 1和D C 2建立与L （E 1）和L （E 2 ）C的交点相对应的交点自动机A $A_1$$A_2$$E_1$$E_2$$D_2$$A_2$$D_2^C$$A_P$$A_1$$D_2^C$$L(E_1)$$L(E_2)^C$。现在当且仅当存在没有在接受路径甲P。$L(E_1)\subseteq L(E_2)$$A_P$

如果我没记错的话，因为是固定语言，所以整个过程可以在多项式时间内完成，因为唯一的指数膨胀来自将A 2转换为D 2。更好的是，当由|参数化时，问题是FPT 。E 2 | ，E 2的长度。$E_2$$A_2$$D_2$$|E_2|$$E_2$

这激发了我的问题：

问题：当是一个固定表达式时，常规语言包含的复杂度是多少？它是否保持PSPACE完整？$E_1$

[1] LJ Stockmeyer和AR Meyer。需要指数时间的单词问题：初步报告。第五届ACM年度计算机理论研讨会论文集，STOC '73，第1-9页。

备注：作为该领域的非专家，我发现[1]（和当时的相关论文）相当不可读，并且找不到PSPACE完整性的另一证明-指向现代证明的任何指针，例如一本书，非常欢迎！另外，我认为作者似乎允许对正则表达式进行平方运算，我认为这是当今相当不规范的。）

$E_1$$E_1=\Sigma^*$

对于正则表达式的普遍性，确实很难找到现代可读的PSPACE硬度证明，因为它现在被认为是民间文学艺术。这是一个快速的证明方案，允许您重建证明：

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$M$$\Sigma$$p(n)$$w\in\Sigma^*$$M$$e$$M$$w$

$L_M$$\$C_0\$ C_1\$\dots\$ C_f\$$$C_i$$M$$p(n)$$C_0$$w$$C_f$$C_i\to C_{i+1}$$M$$L_M$$M$

$e$$\Sigma'=\Sigma\cup\{\$\}$$e$$L_M$$L_M$$e$$e_1+e_2+\dots+e_k$$e_i$

$$e_1=(\Sigma')^*\$(\Sigma^{<p(n)}+\Sigma^{>p(n)})\$(\Sigma')^*$$ $C_i$$p(n)$$C_i$$C_{i+1}$$C_i$$C_{i+1}$$t(\Sigma')^{p(n)}t'$$t$$t'$$M$ $$L(e)\neq (\Sigma')^*\text{ if and only if }L_M\neq\emptyset\text{ if and only if $M$ accepts }w$$ 因此，我们（多项式地）将任意PSPACE问题简化为正则表达式的普遍性。我遗漏了一些细节，但这应该可以让您建立完整的证明。

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$E_1$

$(\Sigma')^{p(n)}$$p(n)$$p(n)$

[1] 关于常规语言和无上下文语言的等价性，包含性和覆盖性问题 。计算机与系统科学学报。第12卷，第2期，1976年4月，第222-268页

[2] 带平方的正则表达式的等价问题需要指数空间。迈尔（AR）和L. Stockmeyer。第13届IEEE交换与自动机理论研讨会，1972年10月，第125–129页。