图形的简洁电路表示

可以将复杂度等级PPAD（例如，计算各种Nash平衡）定义为可减少到LINE OF THE LINE的总搜索问题集：

行的结尾：给定电路S和P具有n个输入位和n个输出位，使得P（0 ⁿ） = 0 ⁿ！= S（0 ⁿ），在{0,1} ^n中找到一个输入x，使得P （S（x））！= x 或S（P（x））！= x！= 0 ⁿ。

电路或算法，例如S和 P之隐式定义了一个指数级大图，该图仅在逐个查询的基础上才显示（以将问题保留在PSPACE中！），例如Papadimitrou的论文。

但是，我不明白如何设计一种电路可以实现任意图形（如果图形具有系统结构，则查找电路似乎容易得多）。例如，如何设计一个代表指数长的有向线的多项式大小的电路，其中源顶点为全0标记，而对所有其他顶点则随机分配为二进制标记？在与PPAD有关的论文中，这似乎是隐含的。

我最接近在线搜索的是 Galperin / Widgerson的论文，但是那里描述的电路带有两个顶点标签，并返回布尔值答案：“这些顶点相邻吗？”

因此，您将如何设计指数大小图的多项式大小的电路，该电路需要一个n位输入并分别输出其前任或后继的n位标签？甚至，有人知道能很好解释这一点的资源吗？

您的问题似乎在问：如何将任意图（甚至任意路径图）表示为多项式大小的电路？答案是，你不会。具有2 ⁿ个顶点的不同路径图的数量为（2 ⁿ）!，远远大于具有n ^c个门的不同电路的数量（n ^c log n中的指数）。因此，几乎所有具有如此多顶点的图形都无法用简洁的电路表示。

因此，正如您所暗示的，在某种意义上，只能以这种方式表示具有高度结构化的图形。这就是使像PPAD这样的复杂性类变得有趣的原因：尽管我们知道EOL问题的输入图必须具有的结构，但我们似乎不知道如何利用该结构来有效地解决问题。

如果我误解了您的问题，而您实际上是在问：对于一个非常结构化的图形，如何制作一个电路甚至可以满足EOL的输入要求：请尝试连接顶点x的路径图（视为数字） （以二进制形式）到x-1和x + 1，结尾分别为零和2 ^ n-1。或者，如果您希望解决一些琐碎的事情，似乎很难解决EOL：让E和D为您喜欢的密码系统中固定密钥的加密和解密函数，则让图中x的邻居为E（x）和D （x），并将行的末端设为0和D（0）。

由于n个顶点上的大多数图都是Kolmogorov随机图，因此无法使用比图本身小得多的电路（或任何其他程序）来描述它们。（如果您不知道Kolmogorov-random的含义，则基本上可以将前一句的结论作为其定义。然后依靠几乎所有字符串都是Kolmogorov-random的事实。）

尽管我对您引用的作品不是很熟悉，但是我猜他们总是在谈论按电路描述的图形。换句话说，通过专注于电路，他们实质上将注意力集中在确实具有简洁电路（其大小在图的大小上是对数）的图的类别上。