具有电路复杂度的函数的分层布尔电路可以有多小？

考虑由布尔电路计算的函数，其中输入的大小为，基于（门的indegree 2 ）。 $f$ $C$ $n$ $s(n) = \mathsf{poly}(n)$ $\{\mathsf{XOR},\mathsf{AND},\mathsf{NOT}\}$ $\mathsf{XOR},\mathsf{AND}$

如果布尔电路可以布置成层（是电路的深度），则该布尔电路是分层的，这样两个门之间的任何边缘都将相邻的层连接起来。 $d$ $d$

假设具有大小为的布尔电路，那么对于计算的分层电路的大小我们能说什么？有一个微不足道的上限：通过在每个与边相交的层上将虚设节点添加到中，我们得到大小最大为的分层电路。但是我们是否可以总体上变得更好（例如或），或者对于有趣的电路类别呢？ $f$ $s$ $f$ $C$ $O(s^2)$ $O(s\cdot \log s)$ $O(s)$

背景。这个问题源于最近的密码学研究结果，该结果表明如何利用通信（例如或安全地计算大小为分层布尔电路；我试图了解这种对分层布尔电路的限制在实践中有多严格，无论是对于通用电路还是“自然”电路。但是，我在文献中对分层电路的了解不多；适当的指针也将受到欢迎。 $s$ $o(s)$ $s/\log s$ $s/\log\log s)$

circuit-complexity circuits

— 杰弗罗伊·库特（Geoffroy Couteau）
source

这是一个电路的示例，似乎很难转换成分层电路，而不会出现明显的尺寸膨胀。将为可以计算为函数。限定，并让是的迭代。那么大小为。似乎很难构建尺寸小于的分层电路。因此，如果，也许我们应该预期电路尺寸与分层电路尺寸之间的差距。不是证明，只是一个可能启发直觉的示例。

f : {0, 1}^{n - 1} \to {0, 1}

$f:\{0,1\}^{n-1} \to \{0,1\}$

u

$u$

g (x_{1}, \dots, x_{n}) = (x_{2}, \dots, x_{n}, x_{1} \oplus f (x_{2}, \dots, x_{n}))

$g(x_1,\dots,x_n) = (x_2,\dots,x_n,x_1 \oplus f(x_2,\dots,x_n))$

C

$C$

t

$t$

g

$g$

C

$C$

O (t u)

$O(tu)$

Θ (n t)

$\Theta(nt)$

u = o (n)

$u=o(n)$

— DW

据我所记得，对于分层电路，最著名的下界形式为。对于 -to-函数特别容易证明。以线性映射为例，其中仅在主对角线上为零。那么它必须在每层上至少具有门，并且层数至少为。请注意，可以通过大小为的规则电路轻松计算此函数。对于单输出函数，也可以证明相同的下限，但是我不记得该参数了。

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

n

$n$

n

$n$

A x

$Ax$

A \in {0, 1}^{n \times n}

$A \in \{0,1\}^{n \times n}$

n

$n$

\log_{2} n

$\log_2 n$

O (n)

$O(n)$

— 亚历山大·库里科夫

非常感谢您的评论。@ AlexanderS.Kulikov，您的论点是民间文学艺术，还是您有一些指向分层电路上工作的指针？该是有道理的-我一直很奇怪的东西更小-但唯一已知的上限？

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Geoffroy Couteau '18年

我想这是一个民间传说，是的。我不确定是否遇到有关上限的问题。您可能需要看一下以下论文：cs.utexas.edu/~panni/sizedepth.pdf

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Alexander S. Kulikov

我认为我们一般不知道比更好的转换。注意，大小为和深度为的电路最多可以转换为大小为的分层电路。（在最坏的情况下，让我们大小的电路我只是想指出，如果我们能证明一个下界上的大小分层电路，这将为我们提供对数深度电路尺寸的超线性下界。这个问题持续40多年了。

O (s^{2})

$O(s^2)$

s

$s$

d

$d$

d s

$ds$

O (s^{2})

$O(s^2)$

ω (n \log n)

$\omega(n\log{n})$

— Alex Golovnev

据我所知，已经研究了三类分层电路。在所有这些定义中，仅在两个相邻层之间才允许电弧。

如果所有门都布置成一层，并且输入必须在第0层，则该电路称为同步（Harper 1977）。（等效定义：对于任何门，从输入到所有路径都具有相同的长度。） $g$ $g$
如果每个输入仅发生一次但在任意层，则电路是局部同步的（Belaga 1984）。
如果门和输入被分层放置，则电路是分层的（Gal，Jang，2010年），输入可能在不同的层上多次出现。（等效定义：对于任何门和输出门，从到所有定向路径都具有相同的长度。） $g$ $o$ $g$ $o$

不难看出，从最弱到最强列出了这三个类别（无限制电路的类别甚至更强）。

关于计算大小为的无限制电路的分层电路的大小，我们知道以下几点： $s$

大小为任何电路都可以通过大小为的同步/局部同步/分层电路来计算（Wegener 1987，第12.1节）。 $s$ $s^2$
很难找到需要同步/局部同步/分层电路，其大小为的显式函数。实际上，大小为和深度为每个电路都可以通过大小为的同步电路来计算（Wegener 1987，第12.1节）。因此，即使我们有一个显式函数，它需要大小为同步电路（无论其在非受限电路类别中的复杂度如何），也无法通过深度为的电路来计算和大小，这回答了一个长期以来关于电路复杂性的开放性问题（ $\omega(s\log{s})$ $s$ $d$ $O(sd)$ $f$ $\omega(n\log{n})$ $f$ $O(\log{n})$ $O(n)$ 英勇（1977）。
存在显式功能

3.1。与下界同步电路，而上限为本地同步电路（图兰1989）。 $\Omega(n\log{n})$ $O(n)$

3.2。与下界本地同步电路，而上限为层状电路（图兰1989）。 $\Omega(n\log{n})$ $O(n)$

重要的是要注意，Turán的这两个分离结果已针对具有一个输出的函数进行了证明。查找带有输出的函数通常要容易得多，该函数将两个此类分隔开。 $n$

例如，考虑函数，其中第个输出位是除第个输入外的所有输入的XOR 。可以通过大小为的分层电路轻松地计算此函数：首先计算总大小为层中所有输入的XOR ，然后计算大小为一层中的所有输出。另一方面，需要大小的同步电路。实际上，为了计算长度为的奇偶校验，电路深度必须至少为。另一方面，每一层必须传输 $f\colon\{0,1\}^n\to\{0,1\}^n$ $i$ $i$ $O(n)$ $\log{n}$ $n$ $n$ $f$ $\Omega(n\log{n})$ $n-1$ $\Omega(\log{n})$ $n$ 位信息，因此其大小必须至少为。 $n$

— 亚历克斯·戈洛夫涅夫（Alex Golovnev）
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