证明依赖类型检查是可判定的证明技术

我处于一种情况下，我需要证明对于我正在研究的依赖类型演算，类型检查是可以决定的。到目前为止，我已经能够证明该系统正在高度规范化，因此定义相等性是可判定的。

在我阅读的许多参考文献中，类型检查的可判定性被列为强规范化的必然结果，我相信在这种情况下会如此，但是我想知道如何才能真正显示出这一点。

特别是，我坚持以下几点：

• 仅仅因为类型良好的术语会高度归一化，并不意味着该算法不会在非类型良好的输入上永远循环
• 由于逻辑关系通常用于显示强规范化，因此在进行类型检查术语时，没有方便的递减度量。因此，即使我的类型规则是针对语法的，也无法保证应用规则最终会终止。

我想知道，有没有人能很好地证明依赖类型语言的类型检查可判定性证明？如果是小的核心演算，那很好。任何讨论证明可判定性的证明技术的东西都将是很棒的。

虽然在类型检查的情况下效果很好，但是这里确实确实有一个细微之处。我将在这里写下该问题，因为它似乎出现在许多相关的线程中，并尝试解释为什么在“标准”依赖类型理论中进行类型检查时一切正常。因为无论如何这些问题都会出现）：

事实1：如果是的派生，那么对于某种和每个子项，都有的派生。，有一些类型，上下文和推导的。${\cal D}$$\Gamma\vdash t:A$${\cal D}'$$\Gamma \vdash A:s$$s$$u\leq t$$B$$\Delta$$\cal D''$$\Delta\vdash u:B$

这个好事实很难证明，并且被一个非常讨厌的反事实所抵消：

事实2：在一般情况下，和是不是子推导！$\cal D'$$\cal D''$ d$\cal D$

这在某种程度上取决于类型系统的精确表述，但是实际上实施的大多数“操作”系统确实符合事实2。

这意味着，在对派生进行归纳推理时，您不能“传递给子术语”，也不能得出关于您要证明某事的术语类型的归纳陈述是正确的。

当试图证明看似无害的语句时，这一事实非常刺耳，例如，具有类型转换的系统等同于具有无类型转换的系统。

但是，在类型推断的情况下，您可以通过对术语的结构进行归纳来给出同时的类型和排序（类型的推断）推断算法，这可能涉及到Andrej建议的类型导向算法。对于给定的术语（和上下文，您要么失败要么找到，使得和。您无需使用归纳假设来找到后者）推导，因此尤其可以避免上述问题。$t$$\Gamma$$A, s$$\Gamma\vdash t:A$$\Gamma\vdash A : s$

关键情况（也是唯一真正需要转换的情况）是应用程序：

infer(t u):
   type_t, sort_t <- infer(t)
   type_t' <- normalize(type_t)
   type_u, sort_u <- infer(u)
   type_u' <- normalize(type_u)
   if (type_t' = Pi(A, B) and type_u' = A' and alpha_equal(A, A') then
      return B, sort_t (or the appropriate sort)
   else fail

每次对normalize的调用都以类型明确的条件完成，因为这是infer的成功的不变条件。

顺便说一句，在实现时，Coq没有可判定的类型检查，因为它fix在尝试对语句进行类型检查之前对语句主体进行了标准化。

无论如何，正常类型的名词的界线是如此天文数字，以至于在这一点上可判定性定理在大多数情况下都是学术性的。实际上，只要有耐心，就可以运行类型检查算法，如果还没有完成，则尝试其他方法。