这个游戏的复杂性是什么？

这是我先前问题的概括。

令$M$为可以对某些甲提出问题的多项式时间确定性机器。最初，是空的，但是可以在下面将要描述的游戏之后进行更改。令为一些字符串。$A$$A$$x$

考虑以下爱丽丝和鲍勃的游戏。最初，爱丽丝和鲍勃分别拥有和美元。爱丽丝想要而鲍勃想要。$m_A$$m_B$$M^A(x)=1$$M^A(x)=0$

在游戏的每一步，玩家都可以在加上 ; 这花费了美元，其中是多项式时间可计算函数。玩家也可能错过他或她的脚步。$y$$A$$f(y)$$f: \{0,1\}^* \to \mathbb{N}$

如果两个玩家都花光了所有钱，或者某个玩家在失去位置（由的当前值定义）时错过了一步，则比赛结束。$M^A(x)$

问题：对于给定的，定义游戏赢家的问题 是$M, f, x, m_A, m_B$

EXPSPACE-完成任务？

请注意，只能要求（属于）具有多项式长度的字符串，因此Alice或Bob不会向添加更多更长的字符串。因此，这个问题在EXPSPACE中。 $M$$A$$A$

在我之前的问题中，将每个字符串添加到都要花费一美元（即）。然后（如Lance Fortnow所示），如果则该游戏属于EXPH甚至属于PSPACE。 $A$$f \equiv 1$米甲 = 米乙$m_A = m_B$

这应该是EXPSPACE完整的。我将概述如何在不减少任何EXPSPACE完全问题的情况下实现指数级的交替，但是从这里开始应该很容易完成。

在$t$回合后用$A_t$表示预言中的单词，因此初始$A_0=\emptyset$。用Q t表示由$M^{A_t}$查询的单词。主要观察的是，不管是谁与失去一个牛逼，可以假设从某事物添加Q 牛逼到一个。这是因为在此游戏中，一举一动都要花钱，我们希望尽可能少地移动。在我们获胜之前，别无他法。但这也意味着，如果我们输了，就没有必要在Q t之外添加任何东西。$Q_t$$A_t$$Q_t$$A$$Q_t$

为简单起见，假设$M$正好运行$2n$步骤，并且在步骤$2i$和$2i+1$它查询的长度恰好是$i$。成本函数$f$将简单地$2^{-i}$上长度的话$i$。这场比赛将是这样的：爱丽丝总是需要添加奇数长度的单词和鲍勃总是需要甚至长单词添加到$A$。假设$n$为奇数，并且最初Alice输了。

将设置预算$m_A$和$m_B$以便她可以精确选择M A 0查询的$n$单词的长度之一，以添加到A中。这场比赛将使她成为赢家，因此鲍勃将不得不搬家。再次由于预算限制，他将不得不选择由M A 1查询的长度n − 1个字中的一个准确地添加到A中。所有这些都增加后，中号一2将查询两个新的长度ñ词（相同的，不管用什么词鲍勃加入$M^{A_0}$$A$$n-1$$M^{A_1}$$A$$M^{A_2}$$n$$A$），鲍勃将获胜。爱丽丝将被迫向A添加这些新的长度为$n$单词中的$A$，以赢得胜利。

游戏以这种方式进行，可以想象为遵循深度为$n$的完整二叉树的分支，尽管在每个分支节点上，一个玩家（由节点深度的奇偶性确定）需要使选择要添加到$A$单词。他们穿过树后，将用光预算。如果在游戏的任何阶段，其中一个决定添加一些较短的单词（例如，爱丽丝从Q 0开始的长度为$k<n$单词）$Q_0$在第一步中），那么如果另一位玩家（在我们的示例中为Bob）总是在二叉树中一直玩他能玩的最长的单词，那么他最后会剩下一些钱，我们进行游戏，这样他就可以使用赢。（请注意，爱丽丝可能还会剩下一些钱，但鲍勃会拥有更多钱，因此我们设计的最终游戏是，如果其中一个有更多钱，则该玩家可以获胜。）

这样，爱丽丝决定成对地对成对的奇数长度单词进行对数，鲍勃决定对成对的偶数对词进行指数化，每个对中的一个去往$A$，并且它们以交替的方式做出选择。