了解构造演算的强规范化证明

我很难理解构造演算的强归一化证明。我尝试遵循Herman Geuvers论文中的证明“构造微积分的强规范化的简短而灵活的证明”。

我可以很好地遵循推理的主线。每种类型的Geuvers构造$T$ 解释 $[\![T]\!]_\xi$ 基于对类型变量的一些评估 $\xi(\alpha)$。然后他构造一些术语解释$(\!|M|\!)_\rho$ 基于对术语变量的一些评估 $\rho(x)$ 并证明对于有效评估，该断言 $(\!|M|\!)_\rho \in [\![T]\!]_\xi$ 对所有人 $\Gamma\vdash M:T$ 持有。

我的问题：对于简单类型（如系统F类型），类型解释 $[\![T]\!]_\xi$ 确实是一组术语，所以断言 $(\!|M|\!)_\rho \in [\![T]\!]_\xi$说得通。但是对于更复杂的类型，解释$[\![T]\!]_\xi$不是一组术语，而是一些适当功能空间的一组功能。我认为，我几乎了解函数空间的构造，但是它不能为$(\!|M|\!)_\rho \in [\![T]\!]_\xi$ 对于更复杂的类型 $T$。

任何人都可以解释或给出一些更易于理解的证明表示的链接吗？

编辑：让我尝试使问题更清楚。上下文$\Gamma$ 有类型变量的声明 $\alpha:A$和对象变量。如果适用于所有类型，则类型评估有效$(\alpha:A) \in \Gamma$ 与 $\Gamma\vdash A:\square$ 然后 $\xi(\alpha) \in \nu(A)$已验证。但$\nu(A)$ 可以是 $(SAT)^*$ 不仅 $SAT$。因此，无法为$\rho(\alpha)$。 $\rho(\alpha)$ 必须是一个术语，而不是功能空间的某些功能。

编辑2：无效的示例

让我们进行以下有效推导：

$$\begin{array}{llll} [] &\vdash & *:\square &\text{axiom} \\ [\alpha:*] &\vdash& \alpha:* &\text{variable introduction} \\ [\alpha:*] &\vdash& *:\square &\text{weaken} \\ [] &\vdash & (\Pi \alpha:*.*):\square &\text{product formation} \\ [\beta:\Pi \alpha:*.*] &\vdash& \beta:(\Pi \alpha:*.*) &\text{variable introduction} \end{array}$$

在最后一种情况下，有效的类型评估必须满足 $\xi(\beta) \in \nu(\Pi \alpha:*.*) = \{f| f:\text{SAT} \to \text{SAT}\}$。对于这种类型的评估，没有有效的期限评估。

不幸的是，我不确定是否有比Geuvers帐户更多的初学者友好资源。您可以尝试克里斯·卡辛格诺（Chris Casinghino）的这篇笔记，该笔记详细说明了一些证据。

我不确定我是否理解您的困惑的要点，但我认为需要注意的重要一件事是以下引理（推论5.2.14），在经典的Barendregt文本中得到了证明：

$$\Gamma \vdash M:T\ \Rightarrow\ \Gamma \vdash T:*\mbox{ or }\square$$

这意味着 $[\![T]\!]_\xi$ 可能是一些复杂的功能，如果 $\Gamma \vdash M:T$ 持有，然后 $[\![T]\!]_\xi$ 必须有一套术语。

这在大纲（第3.1节）中有所说明，其中 $(\!|t|\!)_\sigma\in[\![T]\!]_\xi$ 除非 $\Gamma \vdash t:T :*$，这符合我们的期望，即对类型的解释必须是一组术语，即 ${\cal V}(*)\subseteq{\cal P}(\mathrm{Term})$ （确实， ${\cal V}(*)=\mathrm{SAT}$！）

在类型理论中，即使我们只对 “基础种类” 感兴趣，这也是一种常见情况（此处$*$），我们仍然必须为更高种类的事物定义语义（因此需要引入 $\mathrm{SAT}^*$）。然后事情就解决了，因为只有类型所居住的那种才是$*$ （和 $\square$，但这并不是很重要）。