用Universe层次结构进行遗传替换

我已经读过有关用简单术语和类型替换简单Lambda演算和逻辑框架的遗传方法。

我想知道，在具有Universe层次结构的依存类型系统中，是否有任何世袭替代的示例？即，其中 $True : Set_0 : Set_1:Set_2$ 等。

我特别想知道如何在这样的系统中建立归纳措施。简单类型的版本在结构上减少了要替换的变量的类型。这不适用于从属类型，对于我所链接的LF，我使用相干类型的术语的简单类型擦除来对类型的形状进行归纳。

但是，擦除为简单类型不适用于Universe层次结构，因为如果您具有以下内容：

$f : (x : Set_1)\to x \to True$ 表示
$f\ ((y : True) \to True \to True ): True \to True \to True$

即应用功能导致结构上更大的类型。

我以为解决方案与Universe索引有关，但是如果有一种现有的技术可以确定归纳法是有充分根据的，那么我宁愿引用它而不是自己提出一些建议。

— m
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Answers:

这是谓词系统F的参考。度量确实包括类型中的多个Universe水平集。关于这种方法是否可以推广到谓词相关类型理论，我不能说太多。

— 安德拉斯·科瓦奇（AndrásKovács）
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截至2018年11月，如何对具有大量消除的依存类型理论执行此操作尚待解决。

确定递归是有充分根据的，这一点还不错。您可以使用Pataraia定理证明所需的不动点存在。有关操作方法，请参见Robert Harper的*《在操作语义学上构造类型系统》。（您也可以通过归纳递归定义来执行此操作。）

困难的部分实际上是以一种很好的方式来表示遗传替换-自然方向会导致您朝着不是一个术语而是一个上下文的整体替换进行替换，这引发了有关何时以及如何建立事物属性的许多问题（世袭）替代的组成。

如果事实证明这是不可能的，我将完全震惊。但是，目前还没有人这样做。如果您想解决这个问题，我建议您与Andreas Abel，Dan Licata和Mike Shulman联系。（或者我，就是这个问题。）

— 尼尔·克里希纳斯瓦米（Neel Krishnaswami）
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带有遗传层次的类型理论的遗传替代定理的一致性强度不是很强吗？定理确定之后，还需要什么来推导理论的一致性？

— 安德烈·鲍尔

@NeelKrishaswami：你的意思是即使没有宇宙层次，这也是一个开放的问题吗？确切地说，您对类型理论假设多少？

— 安德烈·鲍尔

我第二个@AndrejBauer的困惑：世袭替代的定义是否隐含地包含了用于简化类型明确的术语的终止参数？简单类型的说法似乎甚至明确地包含在替换进行出其减少的订单，这是挑剔甚至系统T（它的开放是否存在SN这样的命令）和绝望系统F.

— 科迪

@AndrejBauer：如果写下遗传替换操作，则必须证明它已终止，然后才能真正将其称为函数。终止证明不太可能非常困难，因为具有可数宇宙层次的MLTT可以显示为使用直觉有界ZF进行归一化。实际上，公开给出的是遗传替代手术的正确定义。目前尚不清楚这是一个棘手的官僚问题，还是一个棘手的难题。我的直觉是前者，但是谁能不做工作就真的可以说？

— Neel Krishnaswami

@Blaisorblade：是的，增加大的消除会导致该理论的表达力真正大幅度提高。一旦有大量消除，证明一致性/规范化的元理论就必须至少支持归纳递归。

— Neel Krishnaswami