“最小鉴别位”问题NP是否完整？

这是我为弥补此问题而取的名字。我之前从未见过它的描述。我还没有找到NP完全性的证明，也没有找到针对这个问题的多项式时间算法。这不是家庭作业问题，而是与我在工作中遇到的问题有关。

最明显的比特

实例：包含位向量的集合T，其中每个位向量正好是N位长。T的每个元素都是唯一的，就像从一组数学中所期望的那样。整数K <N。

问题：是否存在至多K个位位置的集合B（即[0，N-1]范围内的整数），使得当我们从T中的每个向量中删除除B中的所有比特之外的所有其他比特时，其余的较短向量都是还是独特的？

示例1：对于实例N = 5，T = {00010，11010，01101，00011}，K = 2，答案是肯定的，因为我们可以选择位位置B = {0,3}。使用以下约定：位位置0在最右边，并且位位置编号从右到左增加，从T叶中的向量T'= {00，10，11，01}中除去除B中的所有位以外的所有位，这些都是独一无二的。

示例2：N = 5，T = {00000，00001，00010，00100}，K = 2。答案是否定的，因为无论我们选择哪两个位位置，2位向量中的任何一个都不等于11，因此至少两个2位向量将彼此相等。

当然，我们可以通过枚举大小为K个N位位置的所有（N个选择K个）子集并确定满足条件的子集来解决此问题。但是，这是输入大小的指数。

这个问题是NP完全的。基于3-SAT的减少量的证明如下：

$n$$m$$2n + 2m$$2n + \lceil \log_2(n + m) \rceil$$n + \lceil \log_2(n + m) \rceil$

前位对应于文字。对于这些位，前行将成对出现，其中第一行的相应子句中包含的每个文字将为，第二行将完全由组成。剩余行也将进来对，其中第一个将具有的用于对应的文字和它的否定，并且其中第二个将完全组成的。最后，最后一个$2n$$\left\{ x_1, \neg x_1, x_2, \neg x_2, ..., x_n, \neg x_n \right\}$$2m$$1$$0$$2n$$1$$0$$\lceil \log_2(n + m) \rceil$这些位将用于以二进制形式写其从到索引的每一对行。$0$$n+m-1$

为了区分每个“文字”行与其后继，必须保留对应于该文字的位或对应其否定的位。同样，为了区分 “零+索引”行，必须保留所有索引位。因此，可辨别位的最小数量为。最后，为了将每个“子句”行与其后继字符区分开，必须保留与该子句中包含的文字相对应的三位中的至少一位。如果3-SAT实例可以满足要求，那么最后一种情况将不需要任何额外的位（特别是，⌈ 日志2（Ñ + 米）⌉ Ñ + ⌈ 日志2（Ñ + 米）⌉ X 我 ¬ X 我我Ñ + ⌈ 日志2（Ñ + 米）⌉ 2 Ñ + 2 米X 我 ¬ X 我我$n+m$$\lceil \log_2(n + m) \rceil$$n + \lceil \log_2(n + m) \rceil$$x_i$$\neg x_i$代表任何）; 相反，如果有位在所有位向量之间进行区分，则每个必须精确包含和中的一个，因此对应于一个将真值分配给变量。$i$$n + \lceil \log_2(n + m) \rceil$$2n+2m$$x_i$$\neg x_i$$i$$n$

尽管已经提供了NP完全性的证明，但可能值得指出的是，该问题与已知的NP完全问题等效，称为最小测试集问题（在Garey和Johnson中，[SP6] 也称为最小测试集合）问题）：只是交换职位和职位的角色。