哪些SAT问题很容易？

什么是可满足性的“容易区域”？换句话说，对于某些SAT求解器，如果存在，就能够找到令人满意的分配的足够条件。

一个例子是，当每个子句与其他几个子句共享变量时，由于LLL的结构性证明，沿着这些思路还有其他结果吗？

关于容易传播信仰的地区有大量文献，是否有一些令人满意的方法？

我想您知道来自STOC'78的Schaefer的经典结果，但是以防万一。

10.1145 / 800133.804350

Schaefer证明，如果在任何情况下都通过一组允许的关系对SAT进行参数化，则只有6种易处理的情况：2-SAT（即每个子句都是二进制的），Horn-SAT，double-Horn-SAT，仿射SAT（ GF（2）中线性方程的解），0-有效（由全0分配满足的关系）和1-有效（由全1分配满足的关系）。

我不确定这是否是您要寻找的东西，但是关于3-SAT相变的文献很多。

Monasson，Zecchina，Kirkpatrcik，Selman和Troyansky在自然界中有一篇论文讨论了随机k-SAT的相变。他们使用了从句与变量之比的参数化方法。对于随机的3-SAT，他们从数字上发现过渡点约为4.3。在此之上，随机3-SAT实例过度受限，几乎可以肯定无法满足，在此之下，问题处于受限且可满足（概率很高）的问题。 Mertens，Mezard和Zecchina使用腔体方法程序以更高的精度估算相变点。

远离临界点的地方，“哑”算法对于可满足要求的实例（步行坐等）非常有效。据我了解，确定性求解器的运行时间在相变或相变附近呈指数增长（有关更多讨论，请参见此处）。

信念传播的近亲，布劳恩施泰因（Braunstein），梅扎德（Mezard）和Zecchina引入了调查传播，据报道，它可以解决数百万个变量中可满足的3-SAT实例，甚至非常接近相变。梅扎德（Mezard）在这里进行了有关自旋玻璃的演讲（他的理论已用于分析随机NP完全相变），而曼涅瓦（Maneva）在这里进行了关于测量传播的演讲。

从另一个方向看，我们最好的求解器似乎仍然需要花费大量时间来证明不满意。请参见此处，此处和此处，以了解/讨论一些证明不满意的常用方法（Davis-Putnam程序和解析方法）的指数性质。

对于随机NP-完全问题的“易用性”或“硬度”，必须非常小心。使NP-Complete问题显示相变并不能保证困难问题在哪里或什至不存在。例如，Erdos-Renyi随机图上的汉密尔顿循环问题即使在临界转变点处或附近也很容易证明。数字分区问题似乎没有任何算法可以很好地解决概率1或0范围内的问题，更不用说接近临界阈值了。据我了解，随机3-SAT问题的算法对于接近或低于临界阈值（调查传播，步行坐等）的可满足实例很好地起作用，但是没有高于临界阈值的有效算法来证明不满足要求。

有很多充分的条件。从某种意义上说，许多理论上的CS都致力于这些条件的收集-固定参数易处理性，2-SAT，不同密度的随机3-SAT等。

到目前为止，在文献中对该概念的了解还不是很多，但是SAT问题的子句图（每个子句有一个节点的图，如果子句共享变量，则节点是连通的），以及其他相关图关于SAT表示，似乎有很多基本的线索可以说明实例的平均难度。

该子句图可以通过各种图论算法进行分析，是“结构”的一种很自然的度量，并且与测量/估计硬度有很强的联系，并且看来对该结构及其含义的研究仍处于早期阶段阶段。过渡点研究（一种解决这一问题的传统方法和经过深入研究的方法）最终可能会桥接到此子句图结构中（某种程度上已经存在），这并非不可想象。换句话说，SAT中的过渡点可能是因为子句图的结构而存在的。

这是沿这方面的出色参考，赫尔维格（Herwig）的博士学位论文，还有很多其他内容。

[1] 分解可满足性问题或使用图更好地了解可满足性问题，Herwig 2006（83pp）

可以很容易地将所有实例移至“过渡”点附近，并远离“过渡”点。运动涉及多项式时间/空间工作量。

如果远离“过渡”点的实例更容易解决，那么靠近过渡点的实例也必须同样容易解决。（多项式转换和所有。）

$\kappa$

它找到了带有约束参数的硬实例的明显的分形 自相似结构，使得无论搜索分支旁边选择哪个变量，搜索过程中的DP（LL）求解器都倾向于找到具有相同临界约束的子问题。在[2,3]中，对SAT实例中的分形结构（例如SAT公式的Hausdorff维数以及与硬度的关系）进行了进一步分析。

这里的另一条相互关联的探究线是小世界图与（硬）SAT结构的关系，例如，[4,5]

$\stackrel{?}{=}$

[1] Toby Walsh 1998年的约束刀刃

[2] 由Ni和Wen 绘制的图形直接迭代函数系统中描述的可满足布尔表达式的自相似性

[3] 可视化SAT实例的内部结构（初步报告） Sinz

[4] 沃尔什（Walsh），1999年在一个小世界中搜寻

[5] 通过Slater 2002为更实际的SAT问题建模