确定性错误减少技术？

假设有使用位随机性的随机化（BPP）算法对于任何选定的，将其成功概率放大到自然方法是 $A$ $r$ $1-\delta$ $\delta>0$

独立运行+多数表决：独立运行次，并获得输出的多数表决。这需要位的随机性，并以因子消耗运行时间。 $A$ $T=\Theta(\log(1/\delta)$ $rT =\Theta(r\log(1/\delta))$ $T=\Theta(\log(1/\delta))$
成对独立运行+切比雪夫：运行 “成对-独立地”倍，并且与阈值比较这需要随机性的比特，并且打击了运行时间由因子决定。 $A$ $T=\Theta(1/\delta)$ $rT =\Theta(r/\delta)$ $T=\Theta(1/\delta)$

Karp，Pippenger和Sipser [1] （显然，我无法亲自研究论文，它是二手书）提供了基于强大的常规扩展器的替代方法：本质上，请参见文档的节点扩展器作为随机种子。使用随机位选择扩展器的随机节点，然后 $2^r$ $r$

从那里开始进行长度为的短暂随机游走，然后在获得多数表决之前对与路径上的节点对应的种子运行这需要位的随机性，并且会以因素消耗运行时间。 $T=\Theta(\log(1/\delta))$ $A$ $T$ $r+T = r+\Theta(\log(1/\delta))$ $T=\Theta(\log(1/\delta))$
在进行多数表决之前，对当前节点的所有邻居（或更一般而言，当前节点距离内的所有节点）运行这需要位随机性，并且会以因子消耗运行时间，其中是度数（或距离邻域的。设置好参数，最终会花费在这里。 $A$ $c$ $r$ $T=d$ $d$ $d^c$ $c$ $T=\operatorname{poly}(1/\delta)$

我对最后一个项目符号感兴趣，这与确定性错误减少相对应。[1]之后是否有任何改进，从而减少了对的依赖性？什么是当前的最佳实现-为其？？（对于吗？对于吗？） $T$ $\delta$ $1/\delta^\gamma$ $\gamma > 1$ $\gamma > 0$ $\textsf{BPP}$ $\textsf{RP}$

注意：我也对而不是。正如在[2]中介绍的那样，相关的结构不再是扩展器，而是分散器（例如，参见Ta-Shma的这些讲义，特别是表3）。我找不到确定性扩增的相应范围（不是比允许的多一个随机位），但是，（更重要的是）对于相关参数范围，最新的显式分散器构造也没有找到。 $\textsf{RP}$ $\textsf{BPP}$ $r$

[1] Karp，R.，Pippenger，N.和Sipser，M.，1985年。时间随机权衡。在AMS关于概率计算复杂性的会议（第111卷）中。

[2] A. Cohen和A. Wigderson，1989年10月。分散器，确定性放大和弱随机源。在第30届计算机科学基础年度研讨会上（pp。14-19）。IEEE。

— 克莱门特C.
source

我的理解如下（主要是在前面提到的Ta-Shma，van Melkebeek和Cynthia Dwork的讲义上。据我所知，分散器非常有用，可以在没有更多随机位的情况下以指数方式放大，但是如果不是）有0个额外的随机位

— Clement C.19年

（如果一个人愿意使用这几个额外的位，那么Ta-Shma的讲座将提供一组非常实用的汇总表）。基于扩展器的BPP / RP方法似乎没有唯一的随机性（请参阅van Melkebeek的BPP注释，Dwork的RP变体注释：两者非常相似，并且基于论文[1]，我找不到直接的PDF）。在，多项式的阶数似乎都没有明确的限制，因为它取决于展开图的阶数和展开。

p o l y (1 / δ)

$\mathrm{poly}(1/\delta)$

— Clement C.

它至少在是线性的：但是对于（当前）最著名的扩展器图构造，它将是什么？实际上，即使是概率构造？

1 / δ

$1/\delta$

— Clement C.

也相关（但未回答特定问题）：Salil Vadhan的伪随机性的第3.5.4节和第4节（问题4.6）。

— Clement C.19年

van Melkebeek的讲义是否已给定界限？那里的边界最多是，并且可以使用现有结构获得。 $O(1/\delta)$ $\lambda$ $O(\sqrt{\delta})$ $\lambda = O(1/\sqrt{d})$

同样在Dwork的讲义中，要求的条件是，对于某个常数，扩展为（查看距离c的点本质上是使用功率来改善扩展）。同样可以通过度。 $C/\delta$ $C$ $O(1/\delta)$

可能需要的运行次数下的下限。 $\Omega(1/\delta)$

— 客人
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我明白了-让我改一下以确认我做对了。让是原始误差概率，如果我们有一个频谱度-膨胀机上与第二特征值的节点（其中是明确的，对于RP和BPP而言是不同的），则我们会得出运行时间爆炸。因此，如果我们有一个家庭的明确的 -expanders与的所有，，我们需要的是为一定会感到满意。

α > 0

$\alpha>0$

d

$d$

R = 2^{r}

$R=2^r$

λ \leq \sqrt{δ} \cdot C_{α}

$\lambda \leq \sqrt{\delta}\cdot C_\alpha$

C_{α}

$C_\alpha$

d

$d$

(N, d)

$(N,d)$

λ \leq C / \sqrt{d}

$\lambda \leq C/\sqrt{d}$

N

$N$

d

$d$

d = O_{α} (1 / δ)

$d = O_\alpha(1/\delta)$

— ClementC。

例如，已知任意大的Ramanujan图都存在（建设性）达度，使得是素数。但是，对于所有（或者，对于所有是2的幂，我们是否具有的图的显式构造？（我对此没有足够的知识，而我能找到的唯一结果是Balu-Linial的构造，该构造给出了，但不是很明确。）

d

$d$

d - 1

$d-1$

λ = O (1 / \sqrt{d})

$\lambda = O(1/\sqrt{d})$

n

$n$

n

$n$

O (\sqrt{(\log^{3} d) / d})

$O(\sqrt{(\log^3 d)/d})$

— 克莱门特·C，