数学分析和计算复杂性？

计算复杂性涉及大量的组合论和数论，随机性的某些侵扰以及大量的代数。

但是，作为分析人员，我想知道分析是否在该领域中有应用，或者可能是受分析启发的想法。我所知道的与此相对应的是有限组上的傅立叶变换。

你能帮助我吗？

Flajolet和Sedgewick在http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/AnaCombi/anacombi.html上出版了《分析组合学》一书。我对该主题了解不多，但是该领域的人员使用复杂分析中的工具。到目前为止，据我所知，它们的应用似乎更多地是在算法分析上，而不是在计算复杂度上。

马尔可夫链蒙特卡罗算法是找到近似算法的有用工具。一些表明这些马尔可夫链混合的技术是受分析启发或直接来自分析的-例如，参见Mark Jerrum的计数书中有关估计凸体体积的章节。

Szemerédi引理有多种分析方法，在组合属性测试中有很好的应用。Szemerédi的分析师引理有一个随机算法来查找图的弱规则分区；另请参阅图限制和参数测试。

功能分析在度量嵌入理论中扮演着越来越重要的角色。虽然很难枚举交互的所有方面，但主要主题是使用功能分析中的方法来了解度量如何嵌入规范空间。后一个问题出现在最稀疏的切割问题中，这是一个重要的图形优化问题。

有关更多信息，Assaf Naor提供了很多有用的信息。

与计算复杂度无关，但仍然很有趣

无限计算语义的某些方法基于度量空间。谷歌搜索“度量空间语义学”变得足够多。关于该主题的一个（较旧的）参考文献是de Bakker和de Vink撰写的Control Flow Semantics。我们自己的Neel最近完成了一些工作，即用于反应程序的超量语义。该区域与上述区域有很大不同，但是分析的概念肯定可以在这里找到。

杰克·卢茨（Jack Lutz）提出的资源有界度量理论对于有分析背景的人来说是一个很大的领域。原始纸

几乎到处都是高度不均匀的复杂性，Jack H. Lutz，计算机与系统科学学报，1992年。

将Lebesgue测度的概念归纳为复杂度类别，并且在互联网上可以找到许多后续作品。

直观地考虑与问题。如果我们可以针对大型类定义（是的，可以）复杂性类的度量，则说，并证明小于的度量，然后是。此外，我们可以证明诸如“几乎所有功能都需要门”之类的陈述，这将Shannon绑定扩展到受限类。$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{ESPACE} = \mathsf{DSPACE}[2^{O(n)}]$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{ESPACE}$$\Omega(2^n/n)$$\mathsf{ESPACE}$

在计算机科学不同领域工作的人们可能会受益于分析的各个子领域。

为了给您一个具体的例子，我将描述我自己的情况。我正在研究密码学基础。在该领域（以及计算复杂性），有一个称为随机预言的构造（另请参阅此页面）。有时会利用度量理论中的工具来研究其各种属性，度量理论是分析的一个子领域。这种处理方法可以在本文以及引用它的几篇论文中找到。

您还可以查看Jean Gallier撰写的《代数基础和计算机科学分析》。这是一本正在进行中的书，它告诉您该领域的新变化。

我相信数学分析和复杂性理论之间最好的联系是Blum等人的真实计算模型。将NP_R与P_R分开仍然是一个未解决的问题，在实际计算模型中定义了两个类别，其中每个实数都是一个实体，而一个常规运算（+，-，*，/）则需要一步。