反转量化器顺序的技术

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众所周知，一般而言，通用量词和存在量词的顺序不能颠倒。换句话说，对于一般的逻辑公式 $\phi(\cdot,\cdot)$ ，

$(\forall x)(\exists y) \phi(x,y) \quad \not\Leftrightarrow \quad (\exists y)(\forall x) \phi(x,y)$

另一方面，我们知道右侧比左侧更具限制性。也就是说，。 $(\exists y)(\forall x) \phi(x,y) \Rightarrow (\forall x)(\exists y) \phi(x,y)$

这个问题的重点在于只要对成立，就可以导出。 $(\forall x)(\exists y) \phi(x,y) \Rightarrow (\exists y)(\forall x) \phi(x,y)$ $\phi(\cdot,\cdot)$

对角化就是这样一种技术。我首先在问题的相对论中 $\mathcal{P} \overset{?}{=} \mathcal{NP}$ 看到了对角线的使用（另请参见Katz的简短说明）。在该论文中，作者首先证明：

对于任何确定性的多项式时间预言机M，都存在一种语言B，使得。 $L_B \ne L(M^B)$

然后，他们反转量词的顺序（使用对角线化），以证明：

存在一种语言B，使得对于所有确定性的时间M，我们都有。 $L_B \ne L(M^B)$

此技术已在其他论文中使用，例如[CGH]和[AH]。

我在[IR]定理6.3的证明中找到了另一种技术。它结合了测度理论和鸽子洞原理来逆转量词的顺序。

我想知道计算机科学中还使用了哪些其他技术来逆转通用量词和存在量词的顺序？

lo.logic big-picture proof-techniques

— 道斯蒂女士
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哇，这是一个很大的问题。只是阅读它使我以不同的方式看“熟悉的”对象。谢谢！

— 2011年

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量词的逆转是一个重要的属性，通常是众所周知的定理的背后。

例如，在分析中之间的差异和是点连续和均匀连续性之间的差。一个众所周知的定理说，只要该域良好，即紧凑，每个点连续图都是一致连续的。 $\forall \epsilon > 0 . \forall x . \exists \delta > 0$ $\forall \epsilon > 0 . \exists \delta > 0 . \forall x$

实际上，紧凑性是量词反转的核心。考虑两个数据类型和，其中明显且紧凑（请参见下面的这些术语的说明），并令是和之间的半确定关系。语句可以如下：每一点在是由一些覆盖。由于集合是“可计算地开放”（可判定）和 $X$ $Y$ $X$ $Y$ $\phi(x,y)$ $X$ $Y$ $\forall y : Y . \exists x : X . \phi(x,y)$ $y$ $Y$ $U_x = \lbrace z : Y \mid \phi(x,z) \rbrace$ $U_x$ $Y$ 是紧凑的，存在一个有限的子覆盖。我们证明了暗示通常，我们可以将有限列表的存在减少为一个。例如，如果是线性排序的，并且在中相对于该顺序是单调的，那么我们可以将设为的最大者。

\forall y : Y . \exists x : X . ϕ (x, y)

$\forall y : Y . \exists x : X . \phi(x,y)$

\exists x_{1}, \dots, x_{n} : X . \forall y : Y . ϕ (x_{1}, y) \lor \dots \lor ϕ (x_{n}, y) .

$\exists x_1, \ldots, x_n : X . \forall y : Y . \phi(x_1,y) \lor \cdots \lor \phi(x_n, y).$

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1, \ldots, x_n$

x

$x$

X

$X$

ϕ

$\phi$

x

$x$

x

$x$

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1, \ldots, x_n$

要了解在熟悉的情况下如何应用此原理，让我们看一下是连续函数的陈述。我们将作为自由变量，以免对外部通用量词感到困惑：因为是紧凑的，并且实数的比较是半确定的，所以语句[是半确定的。正实数是明显的，是紧凑的，因此我们可以应用以下原理： $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ $\epsilon > 0$

\forall x \in [0, 1] . \exists δ > 0 . \forall y \in [x - δ, x + δ] . | f (y) - f (x) | < ϵ .

$\forall x \in [0,1] . \exists \delta > 0 . \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon.$

[x - δ, x + δ]

$[x - \delta, x + \delta]$

ϕ (x, δ) \equiv \forall y \in [x - δ, x + δ] . | f (y) - f (x) | < ϵ

$\phi(x, \delta) \equiv \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon$

[0, 1]

$[0,1]$

\exists δ_{1}, δ_{2}, \dots, δ_{n} > 0 . \forall x \in [0, 1] . ϕ (δ_{1}, x) \lor \dots ϕ (δ_{n}, x) .

$\exists \delta_1, \delta_2, \ldots, \delta_n > 0 . \forall x \in [0,1] . \phi(\delta_1, x) \lor \cdots \phi(\delta_n, x).$ 由于是的对的最小者之一已经完成了工作，因此我们只需要一个：我们得到的是一致连续性。

ϕ (δ, x)

$\phi(\delta, x)$

δ

$\delta$

δ_{1}, \dots, δ_{n}

$\delta_1, \ldots, \delta_n$

δ

$\delta$

\exists δ > 0 . \forall x \in [0, 1] . \forall y \in [x - δ, x + δ] . | f (y) - f (x) | < ϵ .

$\exists \delta > 0 . \forall x \in [0,1] . \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon.$

f

$f$

含糊地说，如果数据类型具有可计算的通用量词，则该数据类型是紧凑的；如果具有可计算的存在量词，则该数据类型是显性的。（非负）整数是明显的，因为为了确定中是否，用 semidecidable，我们执行由搜索相同常衔接。Cantor空间是紧凑而公开的，正如Paul Taylor的Abstract Stone Duality和Martin Escardo的“ Datatypes and Classical Spaces的综合拓扑 ”所解释的（另请参见可搜索空间的相关概念）。 $\mathbb{N}$ $\exists n \in \mathbb{N} . \phi(n)$ $\phi(n)$ $2^\mathbb{N}$

让我们将原理应用于您提到的示例。我们将一种语言视为从固定字母表中的（有限）个单词到布尔值的映射。由于有限词与整数具有可计算的双射对应关系，因此我们可以将语言视为从整数到布尔值的映射。也就是说，所有语言的数据类型都是可计算同构，恰好是Cantor空间nat -> bool，或者是紧凑的数学符号。多项式图灵机由其程序描述，该程序是有限字符串，因此所有图灵机（的表示）的空间都可以视为或，这是明显的。 $2^\mathbb{N}$ nat $\mathbb{N}$

给定图灵机和语言，表示“语言被拒绝” 的语句是可确定的，因为它实际上是可确定的：只需使用输入运行查看结果是的。满足我们原则的条件！语句“每个Oracle机器具有使得不被接受”的语言被符号表示为量词反演后，我们得到 $M$ $c$ $\mathsf{rejects}(M,c)$ $c$ $M$ $M$ $c$ $M$ $b$ $b$ $M^b$

\forall M : N . \exists b : 2^{N} . r e j e c t s (M^{b}, b) .

$\forall M : \mathbb{N} . \exists b : 2^\mathbb{N} . \mathsf{rejects}(M^b,b).$

\exists b_{1}, \dots, b_{n} : 2^{N} . \forall M : N . r e j e c t s (M^{b_{1}}, b_{1}) \lor \dots \lor r e j e c t s (M^{b_{n}}, b_{n}) .

$\exists b_1, \ldots, b_n : 2^\mathbb{N} . \forall M : \mathbb{N} . \mathsf{rejects}(M^{b_1}, b_1) \lor \cdots \lor \mathsf{rejects}(M^{b_n},b_n).$ 好的，所以我们只能使用有限的多种语言。我们可以将它们合并为一个吗？我会将其保留为练习（对我自己和您而言！）。

您可能还对如何转换一般问题感兴趣到形式的等效语句，反之亦然。有几种方法可以做到这一点，例如： $\forall x . \exists y . \phi(x,y)$ $\exists u . \forall v . \psi(u,v)$

— 安德烈·鲍尔（Andrej Bauer）
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4

这是一个非常普遍的条件（一个空间必须是明显的，另一个空间必须是紧凑的，并且关系是开放的），但这也是一种技术：如果可以找到满足条件的拓扑，则可以对量词求逆。

— 安德烈·鲍尔

8

@Andrej，您的回答确实很好，很有教育意义。在这篇文章出现之前，我不知道紧密度和可逆量词之间是否存在联系。我感到很开明。

— 张显之（张显之）2011年

8

真是个了不起的答案。

— Suresh Venkat

10

我感到受宠若惊。我希望更多的人知道逻辑，计算和拓扑之间的紧密联系。

— 安德烈·鲍尔

6

@Andrej：关于“逻辑，计算和拓扑之间的紧密联系”是否有很好的参考书（特别是书或讲义）？

— MS Dousti 2011年

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Impagliazzo的核心设置引理使您可以在计算难度假设的上下文中切换量词。这是原始文件。您可以通过Google搜索找到大量相关论文和帖子。

引理说，如果对于每个算法A，都有大量输入，而A无法计算出固定函数f，那么实际上，就有大量输入，每种算法都无法计算出f，其概率接近1。 / 2。

这个引理可以使用最小-最大定理或boost（来自计算学习理论的一种技术）来证明，这两者都是切换量词的示例。

— 马努
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3

这是一个很好的观点。

— Suresh Venkat

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对我来说，Karp-Lipton定理的“规范”证明（即）具有这种味道。但是这里不是实际的定理陈述，其中使用电路较小的假设，在量词取反的情况下，而是在量化计算模型中取反“量词”的情况。 $NP \subseteq P/poly \Longrightarrow \Pi_2 P = \Sigma_2 P$ $NP$

您要模拟表格的计算

$(\forall y)(\exists z)R(x,y,z)$

其中是多项式时间谓词。您可以通过猜测一个小的电路（例如）的可满足性来进行此操作，然后修改使其能够自我检查，并在其输入可满足时产生令人满意的分配。然后对于所有，创建一个SAT实例等效于并求解。因此，您已经生成了等效的表格计算 $R$ $C$ $C$ $y$ $S(x,y)$ $(\exists z)R(x,y,z)$

$(\exists C)(\forall y)[S(x,y)$ 根据是可满足的。 $C]$

— 瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）
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优秀！这是基于假设的量词切换的示例。

— MS Dousti 2011年

尽管这是完全正确的，但是我建议写而不是，因为NP永远不能等于P / poly。

N P \subset P / p o l y

$NP \subset P/poly$

N P \subseteq P / p o l y

$NP \subseteq P/poly$

— MS Dousti 2011年

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联合方法在概率方法中的基本用法可以解释为一种逆转量词顺序的方法。尽管因为Impagliazzo和Rudich的证明就是一个例子，但在问题中已经隐式提到了这一点，但我认为值得更明确地说明。

假设X是有限的，对于每一个X ∈ X，我们知道不仅一些Ÿ ∈ Ÿ满足φ（X，Y ^），但也多选择Ÿ ∈ Ÿ满足φ（X，Y ^）。形式上，假设我们知道（∀ X ∈ X）镨_{ÿ ∈ ÿ} [¬ φ（X，ÿ）] <1 / | X | 对Y的一些概率测度。然后结合联合使我们能够得出结论：镨_{ÿ ∈ ÿ} [（∃ X ∈ X）¬ φ（X，ÿ）] <1，这相当于（∃ Ý ∈ Ý）（∀ X ∈ X）φ（X，ÿ）。

此参数有一些变体：

如果X是无限的，我们可以有时离散化X通过考虑上的合适的度量X和ε的它-net。离散化X之后，我们可以使用如上所述的并集绑定。
当事件φ（X，Y ^）为不同的值X几乎是独立的，我们可以使用Lovász当地引理，而不是约束工会。

— 伊藤刚
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Tsuyoshi，这完全不是话题，但是是时候提名自己为主持人了：）

— Suresh Venkat

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我想添加其他几种技术。尽管前两种技术并非完全可以颠倒通用量词和存在量词的顺序，但它们具有非常相似的风格。因此，我借此机会在这里描述了它们：

平均引理：用于证明和许多其他有趣的定理。非正式地，假设表示某个图书馆的订户集，表示图书馆中的图书集，并且对于和，命题为真都喜欢这本书 “。平均引理指出：如果对于每个在中至少存在的2/3 使得成立，则存在一个 $BPP \subset P/poly$ $S$ $B$ $s\in S$ $b \in B$ $\phi(s,b)$ $s$ $b$ $s \in S$ $b$ $B$ $\phi(s,b)$ $b \in B$ ，这样对于中至少的2/3 ，命题成立。（这可以通过荒谬的还原和计数论点很容易地证明。） $s$ $S$ $\phi(s,b)$

现在让，让是决定的PPT机器。假设的运行时间由多项式。然后，对于任何，并且对于的至少2/3 ，，认为。这里，是使用随机性的机器，是的特征函数。然后使用平均引理表明对于任何 $L \in BPP$ $M(\cdot)$ $L$ $M$ $q(\cdot)$ $x \in \{0,1\}^*$ $r$ $r \in \{0,1\}^{q(|x|)}$ $M_r(x) = \chi_L(x)$ $M_r(\cdot)$ $M$ $r$ $\chi_L(\cdot)$ $L$ $n \in \mathbb{N}$ ，存在一个，因此对于长度为的的至少2/3 ，。该单个可以作为对的建议，因此也可以作为。 $r \in \{0,1\}^{q(n)}$ $x$ $n$ $M_r(x) = \chi_L(x)$ $r$ $M$ $BPP \subset P/poly$

NOTE: I re-emphasize that this is not a quantifier switching technique, but it has the same spirit.

交换引理： Zachos和Fürer引入了一个新的概率量词（大致意味着“对于大多数人”）。他们证明（省略细节）： $\exists^+$

$(\forall y)(\exists^+z) \phi(x,y,z) \Rightarrow (\exists^+ \mathbf{C})(\forall y)(\exists z \in \mathbf{C})\phi(x,y,z)$

注意，这是一个二阶逻辑定理。

使用交换引理，他们证明了许多有趣的定理，例如BPP定理和Babai的定理。有关更多信息，请参考原始论文。 $MA \subseteq AM$

类似于卡普提到-立顿定理的定理瑞恩威廉姆斯：交。 $coNP \subset NP/Poly \Longrightarrow \Pi_3 P = \Sigma_3 P$

— 道斯蒂女士
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细说：我想指出，BPP⊆P/ poly的实际证明比这里写的要多一点，因为仅适用于实例的2/3的建议字符串不足。但是我认为，答案前半部分的重点在于，可以将BPP⊆P/ poly的证明视为类似于量词逆转的东西，这是完全有效的。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

@Tsuyoshi：你是对的。但是其余的证明使用顺序重复和切尔诺夫界，以证明存在，该适用于除指数小部分输入之外的所有输入；正如您所说，这与量词反转无关，因此我省略了它。

r

$r$

— MS Dousti 2011年

我不确定你是否明白我的意思。我的观点是，“平均引理”的陈述不足以证明BPP⊆P/ poly。您需要稍好一点的估算，即预期概率E_b [Pr_sφ（s，b）]而不是max_b [Pr_sφ（s，b）]的估算。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

@Tsuyoshi：恐怕我没有抓住你。在前面的评论中，我注意到我们首先将1/3误差放大为，然后应用平均引理。这是一个完整的证据，摘自Goldreich的书。我想念什么吗？

2^{- | x |}

$2^{-|x|}$

— MS Dousti 2011年

谢谢！我一直在误解你的评论。我不知道BPP byP / poly可以通过首先减小误差然后应用平均引理来证明（我在想相反的顺序）。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）