为什么贪婪猜想如此困难？

最近，我了解了最短超弦问题的贪婪猜想。

在这个问题中，我们得到了一组串$s_1,\dots, s_n$我们要找到最短的超弦理论 $s$即，使得每个$s_i$出现的一个子$s$。

这个问题是NP难题，经过长时间的论文研究之后，这个问题的最著名近似算法的比率为$2+\frac{11}{30}$ [Paluch '14]。

在实践中，生物学家使用以下Greedy算法：

在每个步骤中，合并两个在所有对上具有最大重叠量的字符串（最大后缀是另一个字符串的前缀），然后在这个新实例上重复该操作，直到只剩下一个字符串（这是所有输入字符串的超字符串） ）

可以从输入c （a b ）k，（b a ）k，（a b ）k c获得该贪婪算法的近似比的下限$2$。$c(ab)^k,(ba)^k,(ab)^kc$

有趣的是，可以推测这是最坏的例子，即贪婪对最短超弦问题实现了$2$逼近。看到如此自然而又简单的算法如此难以分析，我感到非常惊讶。

是否有任何直觉，事实，观察结果，例子说明了这个问题为何具有挑战性？

让我首先尝试总结一下有关贪婪猜想的知识。

1. Blum，Jiang，Li，Trump和Yannakakis证明了Greedy算法给出了4近似值，而Kaplan和Shafrir证明了它给出了最短公共超弦问题的3.5逼近度。
2. 已知贪婪算法的一种版本可以给出3近似值（Blum，Jiang，Li，Tromp，Yannakakis）。
3. $3$$4$
4. 如果贪婪算法碰巧以某种特定顺序合并字符串（Weinard，Schnitger，Laube，Weinard），则贪婪猜想成立。
5. 贪婪算法给出了压缩Tarhio Ukkonen的2近似值（它定义为输入字符串的总长度减去最短公共超短字符串的长度）。
6. 贪婪算法Ukkonen的实现极为有效。

我认为，很难证明贪婪猜想的原因之一可能是以下原因。证明贪婪算法的近似保证的大多数方法都分析输入字符串集的重叠图（或等效地，前缀图）。我们只知道这些图的某些特性（例如Monge和Triple不等式），但是这些特性不足以证明Greedy猜想（Weinard，Schnitger，Laube，Weinard）。