计算有关Max-3SAT的任何信息

对于3CNF公式令是对任何赋值中满足子句的最大数目。众所周知，Max-3SAT很难近似（服从P≠NP），即不存在输入为3CNF公式且其输出为数字多重时间算法，使得在a内。乘法因子从，其中是一个绝对正的常数。中号（C ^ ）ç ç 中号“中号（ç ）1 + C ^ 中号' Ç > $C$$M(C)$$C$$C$$M'$$M(C)$$1+c$$M'$$c>0$

我认为对于任何恒定模数p，计算也是NP难的。我想知道这两个事实的以下常见推论是否正确：没有多时制算法，其输入是带有N子句的3CNF公式C和一串\ log_2 NB建议位，并且其输出是M（C）。这里B是绝对常数。简而言之，没有算法可以计算M（C）的B位信息。$M(C) \bmod p$$p$$C$$N$$\log_2 N-B$$M(C)$$B$$B$$M(C)$

如果这个问题有一个众所周知的答案，我深感抱歉，因为从背景来看，我不是复杂性理论家。

这是一个论点，如果您可以在给定常数位的建议的情况下在m子句实例上求解Max 3SAT，则多项式层次结构将崩溃。

修正一个NP完全问题L。根据库克定理，我们知道L的输入x的f（）转换为3SAT公式f（x），这样

1）如果那么$x\in L$$M(f(x)) = m$

2）如果那么$x\in L$$M(f(x)) = m-1$

其中是中子句的数量。$m$$f(x)$

我们还有一个Kadin定理，即如果给定个NP完全问题的输入，则您有多项式时间算法，该算法使查询到NP oracle并确定对 NP问题正确答案，则多项式层次结构崩溃。$k$$x_1,\ldots,x_k$$\leq k-1$$k$$x_i \in ? L$

假设我们有一个算法，在给定k位建议的情况下，可以解决m条子句输入上的最大SAT。在Kadin定理的前提下，我们将使用Hastad的结果构造算法。

开始从输入到问题。将库克定理应用于每个定理。经过一些规范化（可以通过为子句分配权重，或者如果我们不想使用权重，可以将它们复制）来完成，我们构造公式，其中对于某个：$K=2^k+1$$x_1,\ldots,x_K$$L$$K$$F_1,\ldots,F_K$$m$

1），如果和，否则$M(F_1)= m-1$$x_1 \in L$$M(F_1) = m-2$

2）如果和，否则$M(F_2) = m\cdot (m-1)$$x_2 \in L$$M(F_2) = m\cdot (m-2)$

...

k）如果且否则$M(F_K) = m^{K-1} \cdot (m-1)$$x_K\in L$$M(F_K) = m^{K-1} \cdot (m-2)$

现在采取的公式，构建了不相交的变量集合的并集，并调用它。因此，我们有，我们可以“读出”对问题的答案通过查看碱基的表示。如果我们可以在给定个建议位的情况下计算，则意味着我们可以找到值，使得其中之一是。然后，我们可以非自适应地询问NP oracle是否为每个候选值$F$$M(F) = M(F_1) + \cdots + M(F_k)$$K$$x_i \in? L$$m$$M(F)$$M(F)$$k$$2^k$$M(F)$$M(F) \geq n_i$$n_1,\ldots,n_{2^k}$我们产生了。因此，通过对NP oracle 进行非自适应查询，我们已经能够解决个NP完全问题实例，这意味着多项式层次结构崩溃了。$2^k+1$$2^k$

使用Hastad定理而不是Cook定理，可以将的大小推到而不是，因此可以将推到，并将建议位的数目推到。理解给定建议位时会发生什么情况 似乎真的很困难。$F$$O(1)^k \cdot m$$m^k$$k$$\log m$$\log\log m$$\log m - O(1)$

编辑补充：Krentel（优化问题的复杂性。J. COMPUT SYST科学36（3）：。490-509（1988） ）证明了计算最大团问题的最佳的值是完全为，可以在多项式时间内使用查询到NP oracle 的函数类。完整性在“一个查询约简”下，如果可以为多项式时间可计算的和写，则函数f可简化为函数g 。现在，如果Max Clique具有多项式时间算法，该算法可生成$FP^{NP[O(log n)]}$$O(log n)$$f(x) = r_1(g(r_2(x))$$r_1$$r_2$$m^{o(1)}$可能的值，它将在，因为您可以使用二进制搜索来找到最佳值，并且查询的数量是列表大小的log。$FP^{NP[o(logn)]}$

现在，如果我们有我们肯定有，这是决策问题的特例，通过Wagner的结果（改进适用于恒定数量查询的Kadin的结果）已知，它可以分解多项式层次结构。但是我认为可能知道 实际上暗示着P = NP。但是无论如何，Krentel和Kadin-Wagner的结果应该足以为Andy Drucker的结果提供另一个证明。现在，我想知道它是否真的是相同的证明，也就是说，Fortnow-Van Melkebeek结果是否通过“用更少的NP查询来模拟NP查询”参数显式或隐式地起作用。$FP^{NP[O(log n)]} = FP^{NP[o(log n)]}$$P^{NP[O(log n)]} = P^{NP[o(log n)]}$$FP^{NP[O(log n)]} = FP^{NP[o(log n)]}$

一份很好的调查论文，解释了优化问题和有限查询类的状况：

http://www.csee.umbc.edu/~chang/papers/bqabh/npfsat.pdf

我想说明一个很难证明这个问题的NP困难性的原因。

在对问题的评论中，卢卡·特雷维森（Luca Trevisan）提供了一种重述该问题的好方法：对于多项式k，以下问题可以在多项式时间内求解吗？给定具有m个子句的CNF公式C，最多输出m / k个整数，以便其中一个等于M（C）。这里ķ涉及乙通过ķ = 2 ^乙。

但是，让我们要求更多。即，我们考虑以下问题：给定CNF公式C，输出两个整数，以便其中一个等于M（C）。我们用Π表示这个问题。问题is至少与原始问题一样困难，因此，如果原始问题是NP-hard，则Π也必须是NP-hard。

注意，Π是一个关系问题。可用于将某些问题L简化为关系问题Π 的最简单的约简之一是多项式时间莱文约简，这是多项式时间Turing约简的一种特殊情况，其中约简仅将oracle称为oracle一旦。

我们声称P ^[[1] = P。显然，这意味着除非P = NP，否则NP⊈PΠ ^[1]，也就是说，除非多项式时间Levin可约，除非P = NP，否则Π不是NP-hard。

证明。让大号 ∈P ^Π[1] ，或换句话说，存在从莱还原大号至Π。这意味着存在一对（f，g）多项式时间可计算函数f：{0,1} ^* →{0,1} ^*将问题L的每个实例x映射到某些CNF公式f（x）和多项式时间可计算谓词g：{0,1} ^* ×ℕ×ℕ→{0,1}，使得g（x，i，j）= L（x）如果i或j等于M（f（x））。（这里大号（X）= 1，如果X是的是的实例大号和大号（X）= 0，如果X是一个没有实例。）

我们以此为基础构造L的多项式时间算法。令x为输入。

1. 令C = f（x），令m为C中子句的数量。
2. 找到一个我 ∈{0，...，米 }，使得值克（X，我，Ĵ）是恒定的独立Ĵ ∈{0，...，米 }。
3. 输出此常数g（x，i，0）。

在步骤2中，这样的i始终存在，因为i = M（f（x））满足条件。而且，该算法不能输出错误的答案，因为g（x，i，M（f（x）））必须是正确的答案。因此，该算法可以正确 求解L。QED。

如果我没记错的话，同样的想法可以用来证明P ^{[ k（n）]} ⊆DTIME [ n ^{O（k（n））} ]。这意味着NP⊈P ^{Π[ ķ ]}为任何常数ķ除非P = NP和NP⊈P ^Π[polylog]除非NP⊆DTIME[2 ^polylog ]。但是，仅凭此想法似乎并不排除在多项式时间图灵可归约性下Π是NP-hard的可能性。

我相信我们可以证明：

要求。值使得以下内容成立。假设有一个确定性的多重时间算法，给定一个子句3-SAT实例，输出最多为值的列表，使得；然后多项式层次结构崩溃。$0 < c < 1$$m$$\phi$$S$$m^c$$M(\phi) \in S$

该证明使用了Fortnow和Santhanam 从他们的论文 http://www.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/compress.pdf中得出的实例压缩不可行的结果。

具体来说，通过查看他们对Thm 3.1的证明，我相信可以提取出以下内容（我将很快对此进行重新检查）：

“定理” [FS]。 存在整数因此，以下内容为真。假设在确定性的多重时间中，可以将布尔公式（每个长度为，并且在不相交的变量集上）的OR转换为公式的OR （再次是变量不相交和长度），以保持OR的可满足性/不满足性。然后，多项式层次结构崩溃。$0 < d' < d$$n^d$$\leq n$$n^{d'}$$\leq n$$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{coNP/poly}$

我们的主张的证明将是从上述定理[FS]中提到的OR压缩任务简化为列表计算。假设是我们要压缩其OR的公式列表。$M(\phi)$$\psi_1, \ldots, \psi_{n^d}$

第一步：在输入字符串上定义多项式大小的电路。此处，字符串编码对的赋值，而编码一个介于和之间的数字。$\Gamma$$(v, y_1, \ldots, y_{n^d})$$y_i$$\psi_i$$v \in \{0, 1\}^{d \log n + 1}$$0$$n^d$

如果或，我们可以接受。$\Gamma$$v = 0$$\psi_v(y_v) = 1$

现在，让表示最大值，以使受限电路可以满足。（此数量始终至少为0）。$M^*(\Gamma)$$v$$\Gamma(v, \cdot, \ldots, \cdot)$

假设我们能够高效地生产列表可能的值，。然后要求是，在我们的名单，我们可以扔掉所有为此 ; 如果原始列表中包含一个公式，则结果列表将包含一个可满足的公式。我希望通过检查可以弄清楚。$S$$M^*(\Gamma)$$\psi_1, \ldots, \psi_{n^d}$$\psi_i$$i \notin S$

结论：我们不能可靠地产生一个列表的可能值，除非所述聚层次结构塌陷。$S$$\leq n^{d'}$$M^*(\Gamma)$

第二步：对于3-SAT实例我们从列表计算的问题减少到列表计算的问题。$M^*(\Gamma)$$M(\phi)$$\phi$

为此，我们首先在上执行Cook的约简，以获得大小为的3-SAT实例。 具有与相同的变量集，以及一些辅助变量。对于我们而言，最重要的是是可满足的，而是可满足的。$\Gamma$$\phi_1$$m = poly(n^d)$$\phi_1$$\Gamma$$\phi_1(v, \cdot)$$\Gamma(v, \cdot)$

我们称为“强约束”。我们给每个约束加权重（通过添加重复约束）。$\phi_1$$2m$

然后，我们添加了一组“弱约束”，它们为索引（在步骤1中定义）添加了尽可能高的首选项。存在用于每个位一个约束的，即。我们让第个最高有效位具有权重的约束。由于的长度为，因此可以将这些权重设为整数（我们只需要填充即可使为2的幂）。$\phi_2$$v$$v_t$$v$$[v_t = 1]$$t$$v$$m/2^{t-1}$$v$$d \log n + 1$$m$

最后，让为我们的约简结果。$\phi = \phi_1 \wedge \phi_2$

为了分析，令为的变量集，与以前一样使用。首先要注意的是给定的任何分配到可以推断的值从数量 （总重量通过-constraints满足）。 这来自约束权重的分层设计（类似于Luca的答案中的一种技术）。类似地，最大可实现值通过满足所有强约束的设置以及其中（取决于此）$\phi$$(v,z)$$\phi$$v$$(v, z)$$v$$N(v, z) =$$\phi$$v, z$
$M(\phi)$$(v, z)$$v$尽可能大。这个是可以满足的最大索引，即。（请注意，通过设置 all-0 总是有可能满足所有强约束，因为在这种情况下是可以满足的。）$v$$\Gamma(v, \cdot)$$M^*(\Gamma)$$v =$$\Gamma(v, \cdot)$

因此，如果给定一个可能值的列表，则可以得出的列表。可能值。因此，我们不能有除非多边形层次结构崩溃。这给出了Claim，因为。$S$$M(\phi)$$|S|$$M^*(\Gamma)$$|S| \leq n^{d'}$$n^{d'} = m^{\Omega(1)}$