度量结构在体态/格在理论上的应用

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由于该术语已超载，因此首先进行简要定义。甲偏序集是一组赋予一个偏序。给定两个元件，我们可以定义（合并）作为它们在至少上限，并且类似地定义 $X$ $\le$ $a,b \in X$ $x \vee y$ $X$ （满足）（加入），为最大下界。 $x \wedge y$

晶格是其中两个元素具有唯一的相遇和唯一的连接的坐姿。

格（以这种形式）在（简而言之）次模量理论（具有子集晶格）和聚类（分区晶格）以及领域理论（我不太了解）和静态理论中都出现在CS中。分析。

但是我对在格上使用度量结构的应用程序很感兴趣。一个简单的例子来自聚类，其中任何antimonotone子模函数（antimonotone装置，如果）诱导的度量 $f : X \rightarrow R$ $x \le y, f(x) \le f(y)$

d (x, y) = 2 f (x \land y) - f (x) - f (y)

$d(x,y) = 2f(x \wedge y) - f(x) - f(y)$

该指标已被广泛用作比较数据集的两个不同聚类的方式。

格网还有其他关注度量结构的应用吗？我对领域理论/静态分析应用程序很感兴趣，但是到目前为止，我还没有看到对度量的任何需要。

— 苏雷什·文卡特（Suresh Venkat）
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首先，发表评论。您的问题取决于您打算在多大程度上用几何来表示“公制”一词。在语义和静态分析中使用超度量标准是相当普遍的，但是超度量标准往往具有组合而不是几何解释。（这是以下观点的一种变体，即域理论具有拓扑的组合而不是几何用途的味道。）

就是说，我将为您提供一个示例，说明程序证明的方式。首先，回想一下在程序证明中，我们想证明描述程序的公式成立。通常，此公式不一定必须用布尔值来解释，而是可以从某些真值格的元素中得出。那么一个真正的公式就是一个等于晶格顶部的公式。

此外，当指定非常自指的程序（例如，广泛使用自修改代码的程序）时，事情会变得非常困难。我们通常希望给出该程序的递归规范，但可能没有明显的归纳结构可将其挂起。为解决此问题，为真值晶格配备额外的度量结构通常会很有帮助。然后，如果您可以证明您想要的不动点的谓词是严格紧缩的，则可以求助于Banach的不动点定理，以得出您想要的递归谓词定义明确的结论。

我最熟悉的情况称为“逐步索引”。在这种情况下，我们将真值的晶格当作向下闭合子集，可以将其元素粗略地解释为“该属性所具有的求值序列的长度”。像往常一样，相遇和连接是相交和并集，并且由于格是完整的，因此我们也可以定义Heyting蕴涵。晶格也可以通过令两个晶格元件之间的距离配备有超度量是，其中 $\Omega$ $\mathbb{N}$ $2^{-n}$ $n$ 是一组中的最小元素，但不是其他。

然后，Banach的收缩映射图定理告诉我们，收缩谓词具有唯一的不动点。直观地讲，这意味着如果我们可以使用保留步骤的版本来定义包含步骤的谓词，那么实际上我们对谓词的定义是明确的。如果然后证明谓词等于，那么我们知道该谓词始终持有程序。 $p : \Omega \to \Omega$ $n+1$ $n$ $\top = \mathbb{N}$

— 尼尔·克里希纳斯瓦米（Neel Krishnaswami）
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有趣啊。在回答您的问题时，我只关心度量标准：它满足三角不等式。因此，超计量学非常好。但是，（这是我的缺点），在我看来，此处使用该指标是结构性的，以便可以使用Banach。您不必在乎指标本身（因此与指标近似或计算无关）。那正确吗？

— Suresh Venkat

4

是的，我们不太关心指标。实际上，这是度量标准或逐步索引模型的不适之源-为什么我们要跟踪我们并不真正关心的信息？证明模型在该度量的一类近似值（在收缩性方面可能是保守的）下是稳定的，实际上会增加它的舒适度。

— Neel Krishnaswami

9

作为更常用的CPO的替代，Arnold和Nivat探索了（完整的）度量空间作为指称语义的域[1]。Bonsangue [2]在其论文中探讨了这种指称语义与公理语义之间的对偶性。我在这里提到它是因为它提供了非常全面的总体情况。

[1]：阿诺德（M Nivat）：无限树的度量解释和非确定性递归程序的语义。理论。计算科学 11：181-205（1980）。
[2]：ENTCS 语义学的 MM Bonsangue 拓扑对偶，第 8卷，Elsevier，1998年。

— 凯
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太棒了-我不知道这篇论文是在线的！

— Neel Krishnaswami

3

我让Marcello（Bonsangue）知道他正在被谈论。（也许他会加入。）

— Dave Clarke

5

这是一个（碰巧是在我的阅读队列的顶部）：

Swarat Chaudhuri，Sumit Gulwani和Roberto Lublinerman。程序的连续性分析。POPL 2010。

作者使用简单的循环为命令式语言提供了指称语义，将表达式解释为来自底层产品度量空间中值的函数。关键是要确定哪些程序代表了连续的功能，即使在存在“ if”和循环的情况下也是如此。他们甚至允许有关连续性的问题仅限于某些输入和输出。（这对于分析Dijkstra的算法很重要，该算法的路径长度是连续的，而不是实际路径。）

我还没有看到需要度量空间的任何东西-到目前为止，似乎已经可以使用常规拓扑完成了-但我只在第3页。:)

— 尼尔·多伦多
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1

当然，就像前面的答案一样，这里没有摆幅或格子。那就是我所缺少的。

— Suresh Venkat

3

很抱歉添加另一个答案，但这个答案与我上面的其他答案无关。

我经常用来刺激（或教育吗？）并发学生的度量空间是无限痕迹的度量空间。它引起的拓扑结构恰好是一种Alpern和Schneider [1]，用于分别将安全性和活动性特征描述为封闭的和密集的。

\begin{array}{rcl} d : Σ^{ω} \times Σ^{ω} & ⟶ & R_{\geq 0} \\ (σ, τ) & \mapsto & 2^{- sup {i \in N | σ |_{i} = τ |_{i}}} \end{array}

$\begin{array}{@{}rcl} d : \Sigma^\omega\times\Sigma^\omega & \longrightarrow & \mathbb{R}_{{}\ge 0}\\ % (\sigma,\tau) & \mapsto & 2^{-\sup \{~i\in\mathbb{N} ~|~ \sigma|_i = \tau|_i~\}} \end{array}$

σ |_{i}

$\sigma|_i$

σ

$\sigma$

i

$i$

2^{- \infty} = 0

$2^{-\infty} = 0$

回想起来，我意识到这个答案也缺少晶格或波幅结构的基本要素。移动一个级别到什么Clarkson和施耐德通话时，这种网格结构然而目前hyperproperties [2]。在撰写本文时，我还不清楚如何提升该指标。

[1] B Alpern和FB Schneider。定义活力。IPL，21（4）：181-185，1985。
[2] MR Clarkson和FB Schneider。超属性。CSF，第51-65页，IEEE，2008年。

— 凯
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\sum_{k = 1}^{n} k = n (n + 1) / 2

$\sum_{k=1}^n k = {n(n+1)}/{2}$

@HCH谢谢，我已经相应地编辑了我的帖子，并删除了有关格式化建议的公然呼声。

— 启

不错的配方！

— 张显之（张显之）2011年