NP完全因式分解。

Arora和Barak的书将分解因素提出为以下问题：

$\text{FACTORING} = \{\langle L, U, N \rangle \;|\; (\exists \text{ a prime } p \in \{L, \ldots, U\})[p | N]\}$

他们在第二章中进一步补充说，消除是质数这一事实使该问题成为NP完全问题，尽管这与分解数的难度无关。看起来SUBSETSUM可能有所减少，但是我被卡住了。这里有更好的运气吗？ $p$

编辑3月1日：赏金是使用确定性Karp（或Cook）缩减法进行的完整性证明。 $NP$

cc.complexity-theory np-hardness factoring

— 米歇尔·卡迪拉哈克（MichaëlCadilhac）
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@turkistany：FWIW，我认为将NP设置为斜体是不好的样式，而将其置于数学模式下则是不好的样式和不好的LaTeX（因为字母之间的间距不同）。

— 2011年

@Michaël，对不起，恢复了原来的风格。您的问题让我很兴奋:)

— Mohammad Al-Turkistany

稍微更完整的描述：在书的第63页上，他们写道：Alon和Kilian（在个人交流中）表明，在示例2.3中的因数分解语言中，因数p是素数的条件对于捕获变量而言是必要的。分解问题，因为没有这种条件，该语言是NP完全的（出于与分解整数的硬度无关的原因）。

— MS Dousti 2011年

自然，我搜索了Alon和Kilian撰写的包含“因式分解”和“ NP完全”的论文。我没有找到（我认为从某种意义上讲这也是自然的）。:(

— 伊藤刚

@Michael我实际上喜欢将类渲染为而不是NP。不是吗

N P

$\mathsf{NP}$

— Suresh Venkat

Answers:

这不是一个完整的答案，但是很接近。以下证明该问题在随机归约下是NP难的。

与子集总和有一个明显的关系：假设您知道的因子：，，，。现在，您想要找到的子集，使得 $N$ $p_1$ $p_2$ $\ldots$ $p_k$ $S$ $p_1$ $\ldots$ $p_k$

日志 大号 \leq \sum_{p_{一世} \in 小号} 日志 p_{一世} \leq 日志 ü 。

$\displaystyle \log L \leq \sum_{p_i \in S} \log p_i \leq \log U.$

试图用这个想法来说明问题是NP难的，如果您有一个数字为，，，的子和和问题，则不一定能在多项式时间内找到质数，例如（其中，我的意思是近似成比例）。这是一个实际的问题，因为由于子集和不是很强的NP完全性，因此您需要为大整数找到这些。 $t_1$ $t_2$ $\ldots$ $t_k$ $\log p_i \propto t_i$ $\propto$ $\log p_i$ $t_i$

现在，假设我们要求子集和问题中的所有整数在和，并且总和约为。子集总和问题仍将是NP完全的，任何解都将是整数的总和。我们可以从整数改变问题雷亚尔如果我们让是介于和 $t_1$ $\ldots$ $t_k$ $x$ $x(1+1/k)$ $\frac{1}{2}\sum_i t_i$ $k/2$ $t'_i$ $t_i$ ，而不是要求总和精确为，我们要求它在与。为此，我们只需将数字指定为左右的精度即可。因此，如果我们从具有位的数字开始，并且可以将实数指定为大约位的精度，则可以执行我们的约简。 $t_i+\frac{1}{10k}$ $s$ $s$ $s + \frac{1}{10}$ $4 \log k$ $B$ $\log p_i$ $B + 4 \log k$

现在，从维基百科（通过下面的Hsien-Chih的评论），和之间的质数为，因此，如果您选择在该范围内随机数，并测试其素性，极有可能在多项式时间中获得质数。 $T$ $T+ T^{5/8}$ $\theta(T^{5/8}/\log T)$

现在，让我们尝试减少。假设我们的都是位长。如果取长度为位的，则可以在附近找到素数为位的质数。因此，我们可以选择，使得具有位的精度。这让我们发现使得精确 $t_i$ $B$ $T_i$ $3B$ $p_i$ $T_i$ $9/8B$ $T_i$ $\log T_i \propto t_i$ $9/8\, B$ $p_i \approx T_i$ $\log p_i \propto t_i$ 位。如果这些质数的子集乘以接近目标值的值，则存在原始子集和问题的解决方案。所以我们让，选择和适当，我们有从子集和一个随机化降低。 $9/8\,B$ $N=\Pi_i p_i$ $L$ $U$

— 彼得·索尔
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我不了解减少量。为了使子集和问题成为NP完全问题，必须以二进制形式给出数字。如果我们想要对数接近子集和问题实例中整数的整数，则需要成倍增长的数字。您如何克服这个问题？

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

@Peter：数论中的假设被称为Cramér猜想，其假设

，其中

是第n个质数。另请参阅文章主要差距以供参考。

p_{n + 1} - p_{n} = O (\log^{2} n)

$p_{n+1} - p_n = O(\log^2 n)$

p_{n}

$p_n$

— 张显之张显之2011年

@Peter：是的，这个假设版本已经证明了

足够大。此类结果的第一个由Hoheisel展示，而由维基百科得出的最佳结果是Baker，Harman和Pintz的著作，其中

，

（因为它对于概率1成立）并且

。

T

$T$

α = 0.525

$\alpha = 0.525$

c_{1} = \infty

$c_1 = \infty$

c_{2} = 1

$c_2 = 1$

— 张显之张显之2011年

刚遇到这个。我应该指出，我不知道原始的Kilian-Alon证明是什么。我对证明的唯一了解是与Noga的交流，后者不记得原始证明的细节，而他重建的证明正是这个证明。注意，它也可以描述为在某些强数理论假设下的确定性减少（例如，在[x，x + polylog（x）]形式的任何间隔中都有质数）。

— 波阿斯·巴拉克

我刚刚和乔·基利安谈过。他说，他和阿隆提出的证据涉及零误差随机归约。据他所知，正如波阿兹·巴拉克（Boaz Barak）已经说过的那样，除非您进行一些数论假设，确定性约简仍然是开放的。

— Timothy Chow

我认为它与PCP定理有关（特别是）。 $NP = PCP[O(\log{n}), O(1)]$

马杜论文的摘录：

检验者可以执行任何多项式时间计算的概念大大丰富了定理和证明的类别，并开始提供证明定理的高度平凡的方法。（一个直接的结果是，我们可以假设定理/证明/断言/参数是二进制序列，并且我们以后将继续这样做。）例如，假设我们有一个断言（例如黎曼假设），并且说我们相信它具有10,000页文章中适合的证据。计算透视说，给定和此结合的（10,000页），可以高效地计算三个正整数与 $A$ $A$ $N, L, U$ $L \leq U \leq N$ 这样，当且仅当在和之间存在除数时，为真。整数，和会很长（也许写它们会花费一百万页），但它们的生产效率却很高（少于打印机打印所有这些整数所花费的时间，当然最多是一两天）。（这个特定的例子是基于Joe Kilian的个人通讯结果）... $A$ $N$ $L$ $U$ $N$ $L$ $U$

...远远超出了我的复杂性理论技能:-)

— 马齐奥·德·比亚西（Marzio De Biasi）
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这只是该问题是NP完全问题的另一种表述。

— 马克·伯里

@Marc ...嗯...我认为，这意味着：

是NP完全的，因为存在NP完全问题的简短证明的多项式归约...

{⟨ L, U, N ⟩ | (\exists p \in {L, \dots, U}) [p | N]}

$\{\langle L, U, N \rangle \;|\; (\exists p \in \{L, \ldots, U\})[p | N]\}$

— Marzio De Biasi

本文中的SHORT PROOFS问题与有界暂停问题几乎相同。简短PROOFS问题的减少很可能与SAT NP完整性的典型证明一样混乱，因此Kilian证明该因素发现问题的NP完整性的证明不太可能构成SAT NP完全性的减少。直接存在PROOFS问题。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

这是一个非正式的有效的确定性减少想法（可能是不完整的）：

Fractran是一种图灵完备的编程语言。Fractran程序的适当定义的有界版本应该是可还原成语言 $\{\langle L, U, M \rangle \;|\; (\exists \text{ a positive integer } p \in \{L, \ldots, U\})[p | M]\}$

例如，有界版本可以询问整数是否在Fractran程序的输出序列中的特定步数（除数）内生成（即）。 $M$ $M=N_j * F_i$

— 穆罕默德·图尔克斯坦尼
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