理论计算机科学必需的公理

这个问题的灵感来自关于数学溢出的应用数学的类似问题，并且na的认为TCS的重要问题（例如P vs. NP）可能独立于ZFC（或其他系统）。作为一点背景，逆向数学是寻找证明某些重要定理所必需的公理的项目。换句话说，我们从一组期望成立的定理开始，并尝试推导使它们成立的最小的“自然”公理。

我想知道反向数学方法是否已应用于TCS的任何重要定理。特别是复杂性理论。由于TCS中许多未解决的问题都陷入僵局，似乎自然会问“我们没有尝试使用哪些公理？”。另外，是否已证明TCS中的任何重要问题都与某些简单的二阶算术子系统无关？

cc.complexity-theory lo.logic proof-complexity

— Artem Kaznatcheev
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两个可能的公理可能不是独立的：1）3-SAT要求

时间。2）给定可满足3SAT式，至多每有效的算法满足

的条款的C2-馏分。同样，很难将两个相等大小的素数相乘（有效）。

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

7 / 8

$7/8$

— Mohammad Al-Turkistany

本文的相关性：哈里·布尔曼（Harry Buhrman），兰斯·福特诺（Lance Fortnow），莱恩·托伦弗利特（Leen Torenvliet），“寻找定理的六个假设”，CCC，第2页，第12届IEEE计算复杂性年度会议（CCC'97），1997年

— Mohammad Al-Turkistany，

以下问题相关：cstheory.stackexchange.com/questions/1923/…大多数TCS可以在RCA_0中形式化。图次要定理是一个罕见的例外。正如Neel强调的那样，如果您想要新的想法，那就去寻找新的想法。不要寻找新的公理。两者根本不一样。

— Timothy Chow

我很困惑为什么要陈述类似

或

结果。在我的第一个TCS讲座中，我们从自然数和一些自然函数开始。其余部分如下。显然我不明白这个问题。

P

$P$

N P

$NP$

— 拉斐尔

我只是注意到了这一点，但显然Lipton在这篇文章中问了一个类似的问题：rjlipton.wordpress.com/2011/02/03/…引用：“我想知道是否有证明技术涉及远远超出PA的想法不使用它，这将有助于解决一些重要问题。我们应该在研究生领域之外的数学领域教授研究生方法吗？” （PA = Peano Arithmetic）

— Artem Kaznatcheev

Answers:

是的，已经在证明复杂性方面研究了该主题。它被称为有界逆数学。您可以在Cook和Nguyen的书“ 证明复杂性的逻辑基础 ”（2010 年）的第8页上找到一张包含一些逆向数学结果的表。SteveCook的先前学生中有一些从事类似主题的工作，例如Nguyen的论文“ 有限逆向数学 ”。，多伦多大学，2008年。

亚历山大·拉兹伯罗夫（Alexander Razborov）（也是其他证明复杂性理论家）对将电路复杂性技术形式化和证明电路复杂性下界所需的薄弱理论取得了一些成果。他为弱理论获得了一些不可证明的结果，但这些理论被认为太弱了。

$RCA_0$ $\mathbf{P} vs. \mathbf{NP}$ $PA_1$ $PA_1$ $PA$

— 卡韦
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这种独立性的结果将是重大突破，但我认为它们不会立即产生任何重大后果。请参阅我对Neel的回答的评论。

— Timothy Chow

P A

$PA$

P A_{1}

$PA_1$

P A

$PA$

P A

$PA$

P A_{1}

$PA_1$

作为对最后一个问题的肯定答案，多态lambda结石的规范化证明（例如构造的演算）至少需要高阶算术，而更强大的系统（例如归纳构造的演算）与ZFC一致，并且有许多不可访问性。

$P \not= NP$ $PA_1$ $DTIME(n^{\log^{*}(n)})$ $PA$ $PA_1$

从哲学上讲，不要犯将一致性强度与抽象强度等同的错误。

正确组织主题的方法可能涉及明显的集合理论原理，即使就一致性强度而言可能并非严格必要。例如，强大的收集原理对于说明均匀性非常有用-例如，类别理论家最终希望使用弱的大基数公理来像所有组的类别一样操纵对象。最著名的例子是代数几何，其发展充分利用了格洛腾迪克宇宙，但其所有应用（例如费马最后定理）显然都属于三阶算术。作为更简单的示例，请注意，通用标识和组合操作不是函数，因为它们是在整个集合范围内建立索引的。

$\sigma$ $X$ $X$

编辑：如果A的一致性表示B的一致性，则逻辑系统A的一致性强度比系统B大。例如，ZFC具有比Peano算术更高的一致性强度，因为您可以证明ZFC中PA的一致性。如果A和B具有相同的一致性，则它们具有相同的一致性强度。例如，当且仅当Heyting（构造性）算术是一致时，Peano算术才是一致的。

IMO，关于逻辑的最令人惊讶的事实之一就是一致性强度归结为一个问题：“您可以证明在此逻辑中总的增长最快的功能是什么？” 结果，可以线性排序许多逻辑类别的一致性！如果您有一个序数符号能够描述增长最快的功能，那么您的两个逻辑可以显示全部，那么您通过三分法就会知道，一个逻辑可以证明另一个逻辑的一致性，或者它们是等价的。

但是这个惊人的事实也是为什么一致性强度不是谈论数学抽象的正确工具的原因。它是包括编码技巧的系统的不变式，良好的抽象使您无需技巧即可表达想法。但是，我们对逻辑的认识还不足以正式表达这一想法。

— 尼尔·克里希纳斯瓦米（Neel Krishnaswami）
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什么是“一致性强度”？

— Suresh Venkat

Ben-David和Halevi并没有证明这一点。您忽略了他们的关键骑手，“使用当前可用的技术”。我将他们的论文解释为强调我们当前的证明技术有多薄弱，而不是对P = NP问题说太多。

— Timothy Chow