有PH的时间层次定理吗？

确实，多项式层次结构中的问题可以在时间（由多项式层次结构中某个级别的交替Turing机器解决）而在中多项式层次结构的任何级别？换句话说-是否像P和NP一样存在多项式层次的时间层次定理？如果有的话，那么参考会很棒。 $O(n^k)$ $O(n^{k-1})$

我遇到的困难是，当模拟来自层次结构所有级别的计算机时，模拟计算机不在层次结构的任何不同层次上。这就引出一个相关的问题-这种仿真机属于哪一类最小的？用交替（或 / ）定义类是否有意义？ $O(n)$ $O(\log n)$ $O(\log \log n)$

— 约瑟夫
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由于线性布尔公式是PSPACE完整的，因此使用线性的交替数将为您提供PSPACE。

— Derrick Stolee 2011年

Answers:

是。例如，时间层次定理的通常证明（通过直接模拟任意机器）可以用来表明，对于每个 $c \geq 1$ ， $\Sigma_c TIME[n^k]$ 并非 $\Pi_c TIME[n^{k-1}]$ 。从切换 $\Sigma$ 到 $\Pi$ 是，在此对角化参数中，我们必须对要模拟的计算机执行“相反”操作，因此当模拟计算机处于存在模式时，我们必须在通用模式下运行，反之亦然。

您也可以得到这样的结果，而无需从切换到：对于每个，并不是的子集。这可以使用由于扎克（Zak）引起的时间层次的证明来完成（参考文献：“ 图灵机时间层次 ”，理论计算机科学26（3）：327--333，1983年）。有关此版本的时间层次定理的明确参考，请参见Dieter van Melkebeek的“ 满意度和相关问题的下界调查 ”（可在其主页上找到）。 $\Sigma$ $\Pi$ $c \geq 1$ $\Sigma_c TIME[n^k]$ $\Sigma_c TIME[n^{k-1}]$

— 瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）
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该答案非常清楚地证明了层次结构的每个不同级别都存在时间层次定理。这并不能立即表明整体上存在这样的定理。

— 约瑟夫

您提出的更强的问题将难以确定。这意味着。假设在中有一个和一种语言，对于每个，它不在中。然后。这是因为每一种语言是在对于一些取决于（由Savitch定理型参数）。因此，如果那么实际上在每一种语言是在对于一些

LOGSPACE≠NP $LOGSPACE \neq NP$

c $c$

L $L$

ΣcTIME[nk] $\Sigma_c TIME[n^k]$

ΣdTIME[nk−1] $\Sigma_d TIME[n^{k-1}]$

d $d$

LOGSPACE≠NP $LOGSPACE \neq NP$

L∈LOGSPACE $L \in LOGSPACE$

ΣdTIME[n2] $\Sigma_d TIME[n^2]$

d $d$

L $L$

LOGSPACE=NP $LOGSPACE = NP$

ΣcTIME[nk] $\Sigma_c TIME[n^k]$

ΣdTIME[n2] $\Sigma_d TIME[n^2]$

d $d$ ，与您要显示的内容矛盾。

— 瑞安·威廉姆斯

修订后的问题（问题的修订4）的答案为否。如果决定问题大号是在时间O（可解Ñ ^ķ）由Σ _我 p设备，然后大号可以在线性时间内由图灵机与oracle为解决大号，这是一个Σ _{我 1} p设备。因此，Σ _我 TIME [O（Ñ ^ķ）]⊆Σ _{我 1} TIME [O（Ñ）]。

— 伊藤刚
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不，这不是的定义的工作方式。如果对于所有，则。如果并且对于每个，令为重言式的一些不确定性算法。然后我们有，其中第一个包含是假设和第二个包含项来自标准模拟论点。这是一个矛盾。

ΣjTIME[t(n)] $\Sigma_j TIME[t(n)]$

ΣjTIME[O(nk)]⊆Σj+1TIME[O(n)] $\Sigma_j TIME[O(n^k)] \subseteq \Sigma_{j+1} TIME[O(n)]$

j,k $j,k$

NP≠coNP $NP \neq coNP$

NP=coNP $NP = coNP$

ΣjTIME[O(nk)]⊆Σj+1TIME[O(n)] $\Sigma_j TIME[O(n^k)] \subseteq \Sigma_{j+1} TIME[O(n)]$

j,k $j,k$

O(nc) $O(n^c)$

NTIME[O(nc2)]⊆Σ2TIME[O(n)]⊆NTIME[O(nc)] $NTIME[O(n^{c^2})] \subseteq \Sigma_{2} TIME[O(n)] \subseteq NTIME[O(n^{c})]$

— Ryan Williams

@Ryan：我使用的定义是：L∈ΣiTIME[t（n）]如果存在一种语言O∈Σ（i-1）P和一个不确定的t（n）时间图灵机，并且带有O的预言符可以识别L.我以为这是标准定义，但是我没有任何参考来支持我的主张。您使用的定义是什么？

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

定义为：如果存在线性时间谓词，则为真。

L∈ΣiTIME[t(n)] $L \in \Sigma_i TIME[t(n)]$

R(x,y1,…,yi) $R(x,y_1,\ldots,y_i)$

x∈L⟺(∃y1:|y1|≤t(|x|))⋯(∀yi:|yi|≤t(|x|))R(x,y1,…,yi) $x \in L \iff (\exists y_1 : |y_1|\leq t(|x|))\cdots (\forall y_i : |y_i| \leq t(|x|))R(x,y_1,\ldots,y_i)$

— 瑞安·威廉姆斯

@Ryan：好的，我不知道那个定义。如果那是质询者要问的，我的回答就不适用。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）