多项式期望时间解是否存在NP完全问题？

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是否存在已知算法的预期运行时间为多项式的NP完全问题（对于某些合理的实例分布）？

如果不是，是否存在针对此类算法的问题？

还是这种算法的存在暗示着确定性多项式时间算法的存在？

cc.complexity-theory np-hardness

— 史蒂夫·克鲁恩
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我不太明白问题是什么。您是要获得NP难问题的平均情况结果还是要问我们是否可以在预期多项式时间内的最坏情况下解决NP难问题？

— 莫里茨2010年

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“预期运行时间”是什么意思？您是对输入的某种随机分布（大多数答案似乎都在想）还是对算法使用的随机位的分布（对随机算法的通常含义）抱有期望？

— 杰夫斯

@莫里茨：我问的是NP难问题的平均情况结果。在预期的多项式时间内在最坏的情况下解决NP难题似乎对我来说甚至是更强大的结果，因此我也对此类结果感兴趣。@JeffE我正在谈论预期时间，需要在实例上进行一些分配。如果算法是随机的，那么人们也会对随机比特产生期望。但是我的问题主要不是关于随机算法。

— 史蒂夫·克鲁恩

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一种简单的填充技术为您提供了一种从任何问题构造它们的方法。

$L$ $NP$ $O(2^{n})$ $K$

K = {1^{n} x | ‖ x ‖ = n and x \in L}

$K=\{1^nx\ |\ \|x\|=n \text{ and }x\in L\}$

K

$K$

n

$n$

1^{n}

$1^n$

x \overset{?}{\in} L

$x\overset{?}{\in}L$

y \in_{R} {0, 1}^{2 n}

$y\in_R \{0,1\}^{2n}$

y \overset{?}{\in} K

$y\overset{?}{\in}K$

\frac{1}{2^{2 n}} (2^{n} \cdot 2^{n} + (2^{2 n} - 2^{n}) O (n)) = 1 + (1 - \frac{1}{2^{n}}) O (n) \in O (n) .

$\frac{1}{2^{2n}}\big(2^n\cdot 2^n+(2^{2n}-2^n)O(n)\big) = 1+(1-\frac{1}{2^n})O(n)\in O(n).$

$K$ 是完全。从的简化为： $NP$ $L$

x \in {0, 1}^{n} \mapsto 1^{n} x

$x\in \{0,1\}^n \mapsto 1^nx$

— 里乌·温克惠真
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有一种用于在随机图上找到哈密顿循环的多项式时间算法，该算法以与哈密顿循环相同的概率渐近成功。当然，在最坏的情况下，这个问题很难解决。

他们还表明，如果输入分布在所有顶点图的集合上是均匀随机的，则始终保证找到哈密顿循环（如果存在）的动态规划算法具有多项式预期运行时间。 $n$

参考：“一种用于在随机图中查找汉密尔顿循环的算法”

Bollobas，Fenner，Frieze

http://portal.acm.org/citation.cfm?id=22145.22193

— 亚伦·罗斯
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关于您的最后一个问题，即是否存在良好的平均情况算法是否意味着存在良好的最坏情况算法：这是一个主要的开放性问题，密码学家特别感兴趣。密码术需要平均而言很难解决的问题，但是密码学家希望以可能的最小假设为基础进行构造，因此，发现平均硬度可证明等于最坏硬度的问题非常重要。

已知一些晶格问题具有从最坏情况到平均情况的减少。例如，请参见Ajtai的《生成晶格问题的硬实例》和Micciancio的一篇调查文章。

— 伊恩
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基本上，可以在预期的线性时间内求解变量和随机选择的约束上的Max 2-CSP （有关结果的精确公式，请参见下面的参考）。请注意，当子句数等于变量数时，Max 2-CSP仍然为NP-hard，因为如果实例的约束图的最大度为3，则它为NP-hard，您可以添加一些虚拟变量以降低平均值度到2。 $n$ $n$

参考：

亚历山大·斯科特（Alexander D.Scott）和格雷戈里·B·索金（Gregory B.Sorkin）。在线性预期时间内求解Max Cut和Max 2-CSP的稀疏随机实例。梳子。Probab。计算，15（1-2）：281-315，2006年。预印本

— 塞尔·加斯珀斯
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2

我看不出您的陈述与本文中的主张相符。本文讨论了如果基础图是G（n，c / n）模型中某个固定c的随机图，则求解Max 2-CSP的问题，这意味着它是n个顶点上的图，其中每个边均独立于概率c / n，因此预期该实例中有

边缘（约束）。但是，如果您进行NP-hardness折减来获得具有n个顶点和n条边的硬实例，则实例的分布将不会遵循

模型，因此，我不会说本文解决了NP-hard问题问题。

Θ (n)

$\Theta(n)$

G (n, c / n)

$G(n,c/n)$

— 巴特·詹森

@巴特：我可能误解了这个问题。我声称具有线性子句数的Max 2-CSP是NP-hard，但是存在一种具有预期线性时间的算法，可以解决随机实例的此问题。

— Serge Gaspers 2010年

基本上，如果我正确理解了您的论点，则是说可以在预期的线性时间内解决在基础图上配备分布G（n，c / n）的Max 2-CSP。我确实同意Bart的观点，即对我来说分配似乎并不完全“明智”或“自然”，但是我认为它可以充分回答我的问题。

— 史蒂夫·克鲁恩

@Steve：我同意。

— 谢尔·加斯珀斯

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这不能完全回答您的问题，但是要对3-SAT随机实例的结果进行调查，您可以看到以下信息：www.math.cmu.edu/~adf/research/rand-sat-algs.pdf

通常很难定义“合理分配”的真正含义。您可以点击此链接，在Bogdanov和Trevisan的调查“平均时间复杂度”中阅读有关此内容的更多信息：http : //arxiv.org/abs/cs/0606037。

— 格里高利·雅罗斯拉夫采夫（Grigory Yaroslavtsev）
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感谢您的链接。不幸的是，据我所知，3-SAT论文的“高概率”结果还不足以证实我的查询。我同意“明智的分配”可能会令人毛骨悚然。在此，我宁愿它如果分布没有明显的选择，使“有效实例空间”并不是简单的问题缩小到一个已知的P.

— 史蒂夫克朗

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Amin Coja-Oghlan和Anusch Taraz撰写的“在期望多项式时间内绘制随机图”

$G \in G(n, p)$ $p < 1.01/n$ $O(√np)$

http://www.springerlink.com/content/87c17d4dacbrc0ma/

— 乔尔·雷比奇（Joel Rybicki）
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