在中为NP完全但在处理的几何问题?


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在考虑许多几何问题很容易,但是对于在是NP完全的(包括我最喜欢的问题之一,单位磁盘盖)。R1Rdd2

有人知道和可以解决多项式问题,但吗? R1R2Rd,d3

更一般而言,是否存在对于 NP完全但对于可以解决多项式的问题,其中?RkRk1k3



1
并不是的。“ 3维”是笛卡尔的,不是欧几里得的。
Suresh Venkat

Answers:


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用半角空格设置封面。

给定平面中的一组点,以及一组计算覆盖该点集的最小半平面数的半平面,可以在平面中的多项式时间内求解。但是,问题在于3d中的NP困难(这比2d中点的磁盘子集的最小覆盖范围难得多)。在3d中,将为您提供半空间和点的子集,并且您正在寻找覆盖这些点的最小半空间。

此处介绍了2d中的多时制算法:http://valis.cs.uiuc.edu/~sariel/papers/08/expand_cover/


考虑到它与我正在研究的问题有多近的距离,我不知道这个结果让我有些尴尬:-)这也正是我所希望的答案。当您说它比2D中的磁盘保护罩难时,我想您的意思是说它对APX有用吗?
鲍勃·弗雷泽

1
2d问题是多项式。另一个是NP-Hard。但是,我不认为3D问题很难解决APX。有充分的理由相信,通过本地搜索可能会实现
PTAS。–

...更困难的是,我的意思是磁盘问题可以提升(即减少)为3d中的半空间问题。
Sariel Har-Peled'3

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这并不是您要问的问题,因为3d版本甚至比NP完整版本更难,但是:在平面上的多边形障碍中找到两个点之间的最短路径是多项式时间(最简单的是,构造两个终端的可见性图和多边形顶点并应用Dijkstra;由于Hershberger和Suri,SIAM J. Comput。1999),还有一种更复杂的O(n log n)算法,但是在3d中发现多面体障碍之间的最短路径是PSPACE-complete(Canny和Reif,FOCS,1987年)。


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您确定平板机壳吗?您引用的算法从根本上需要精确的实数运算! cstheory.stackexchange.com/questions/4034/...
Jeffε

嗯 好点子。而且我不能说使用浮点数和近似值,因为3d问题可以很好地近似。哎呀。我猜有一种“精确的实数算术”意义,其中一个是多项式,另一个是硬式,但是,你是对的,这是它不回答问题的另一种方式。
David Eppstein

6
这真的很有趣。平方根问题的总和在cg中会蔓延到许多问题中,这些问题除此细节外都很容易。从某种意义上说,这很棒,因为这是您要使人们相信这很困难的问题之一。感谢您的指导。
鲍勃·弗雷泽

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可以在O(n)时间内对平面上的任何非凸多边形进行三角剖分,而无需Steiner点;也就是说,三角剖分的每个顶点都是多边形的顶点。此外,每个三角剖分都有正好n-2个三角形。

但是,确定R ^ 3中的非凸多面体是否可以在没有Steiner点的情况下进行三角剖分是NP完全的。即使使用一个 Steiner点进行三角剖分,NP硬度结果仍然成立,因此即使近似所需的最小Steiner点数也是NP-hard。[Jim Ruppert和Raimund Seidel。关于三维非凸多面体三角剖分的难度。 离散计算。几何 1992]。

如果给定的多面体是凸的,则容易找到三角剖分,但是找到具有最小数量的四面体的三角剖分是NP-hard的。[下方的亚历山大,耶苏斯·德·洛埃拉和尤尔根·里希特-盖伯特。 寻找凸3多面体的小三角剖分的复杂性J.算法, 2004年。]


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感谢您的指点,杰夫。特别是,我认为您提到的最后一个结果很有趣。令人惊讶的是,在平面中,构成多边形的单纯形数量是一个常数,但是在更高的尺寸中不再适用,实际上很难进行优化。这正是我所希望的答案。
鲍勃·弗雷泽

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维多面体的可实现性问题是一个候选对象。当,它是多项式时间可解的(根据Steinitz定理),但是当,这是NP-困难的。有关更多信息,请参阅Richter-Gebert和Ziegler的“ 4-polytopes的实现空间是通用的 ”(也有arxiv版本),以及Ziegler 的书“ Polytopes的讲座 ”(第二版印刷)。d 3 d 4dd3d4


2
更具体地说,不是说它是NP难的,而是对(实数的存在性理论)而言是完整的。R
David Eppstein

谢谢,我之前没有见过这个问题。
鲍勃·弗雷泽

再次,就像大卫·埃普斯坦(David Eppstein)的回答,(可能)比NP-complete困难。
Peter Shor

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确定度量空间是否等距可嵌入R ^ 2很容易。但是,要确定R ^ 3的可嵌入性是NP难的。

嵌入到很容易,嵌入到是NP完全的。杰夫·埃德蒙兹(Jeff Edmonds)。SODA 20073 23


这也是一个很好的例子。
Suresh Venkat

-2

这个答案不能完全回答您的问题,但是确实有一些小的联系。我没有向您回答和,而是向您展示了这存在于和。R 3 Z 2 Z 3R2R3Z2Z3

2-SAT问题(布尔可满足性)可在多项式时间内解决。尽管不一定是“几何”问题,但存在一个相应的问题,称为“ 匹配”,从某种意义上讲,它是更几何的,并且直接与2-SAT问题对应。名称匹配是k维匹配的更通用形式,其中。要回答您的问题,3-SAT问题是NP完全问题,它直接映射到3维匹配问题,这也是NP完全问题。因此,k-SAT问题(以及因此的k维匹配)是另一个问题,在易于处理,并且在中是NP完全的。Z 2 Z k k > 2k=2Z2Zkk>2


说2SAT在R ^ 2中是什么意思?
Suresh Venkat

@Suresh 2-satisfiability(缩写为2-SAT或简称为2SAT)是确定是否可以为具有变量对约束的二值(布尔或二进制)变量的集合分配满足所有约束的值的问题。(来自Wikipedia)因为这是一组2值变量解决的问题,所以可以将这些变量视为。R2
Kaushik Shankar

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-1:我看不出R ^ 2中的2SAT情况如何。我看不到2SAT是一个“几何问题”。
罗宾·科塔里

对于没有提出几何问题,我深表歉意,但是尽管标题询问的是几何问题,但注释中的两个问题并未将其指定为几何问题。此外,2满足度具有称为2维匹配的图形表示,即P,其中3满足度对应于3维匹配,即NP。
Kaushik Shankar

@Robin我继续并在原始评论中进行了澄清。
Kaushik Shankar
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