在中为NP完全但在处理的几何问题？

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在考虑许多几何问题很容易，但是对于在是NP完全的（包括我最喜欢的问题之一，单位磁盘盖）。 $R^1$ $R^d$ $d\geq2$

有人知道和可以解决多项式问题，但吗？ $R^1$ $R^2$ $R^d,d\geq3$

更一般而言，是否存在对于 NP完全但对于可以解决多项式的问题，其中？ $R^k$ $R^{k-1}$ $k\geq3$

cc.complexity-theory reference-request cg.comp-geom

— 鲍勃·弗雷泽
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是3维匹配几何？

— Jukka Suomela'3

1

并不是的。“ 3维”是笛卡尔的，不是欧几里得的。

— Suresh Venkat

25

用半角空格设置封面。

给定平面中的一组点，以及一组计算覆盖该点集的最小半平面数的半平面，可以在平面中的多项式时间内求解。但是，问题在于3d中的NP困难（这比2d中点的磁盘子集的最小覆盖范围难得多）。在3d中，将为您提供半空间和点的子集，并且您正在寻找覆盖这些点的最小半空间。

此处介绍了2d中的多时制算法：http：//valis.cs.uiuc.edu/~sariel/papers/08/expand_cover/

— 萨里尔·哈皮尔
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考虑到它与我正在研究的问题有多近的距离，我不知道这个结果让我有些尴尬：-)这也正是我所希望的答案。当您说它比2D中的磁盘保护罩难时，我想您的意思是说它对APX有用吗？

— 鲍勃·弗雷泽

1

2d问题是多项式。另一个是NP-Hard。但是，我不认为3D问题很难解决APX。有充分的理由相信，通过本地搜索可能会实现

— PTAS。–

...更困难的是，我的意思是磁盘问题可以提升（即减少）为3d中的半空间问题。

— Sariel Har-Peled'3

29

这并不是您要问的问题，因为3d版本甚至比NP完整版本更难，但是：在平面上的多边形障碍中找到两个点之间的最短路径是多项式时间（最简单的是，构造两个终端的可见性图和多边形顶点并应用Dijkstra；由于Hershberger和Suri，SIAM J. Comput。1999），还有一种更复杂的O（n log n）算法，但是在3d中发现多面体障碍之间的最短路径是PSPACE-complete（Canny和Reif，FOCS，1987年）。

— 大卫·埃普斯坦
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10

您确定平板机壳吗？您引用的算法从根本上需要精确的实数运算！ cstheory.stackexchange.com/questions/4034/...

— Jeffε

嗯好点子。而且我不能说使用浮点数和近似值，因为3d问题可以很好地近似。哎呀。我猜有一种“精确的实数算术”意义，其中一个是多项式，另一个是硬式，但是，你是对的，这是它不回答问题的另一种方式。

— David Eppstein

6

这真的很有趣。平方根问题的总和在cg中会蔓延到许多问题中，这些问题除此细节外都很容易。从某种意义上说，这很棒，因为这是您要使人们相信这很困难的问题之一。感谢您的指导。

— 鲍勃·弗雷泽

20

可以在O（n）时间内对平面上的任何非凸多边形进行三角剖分，而无需Steiner点；也就是说，三角剖分的每个顶点都是多边形的顶点。此外，每个三角剖分都有正好n-2个三角形。

但是，确定R ^ 3中的非凸多面体是否可以在没有Steiner点的情况下进行三角剖分是NP完全的。即使使用一个 Steiner点进行三角剖分，NP硬度结果仍然成立，因此即使近似所需的最小Steiner点数也是NP-hard。[Jim Ruppert和Raimund Seidel。关于三维非凸多面体三角剖分的难度。 离散计算。几何 1992]。

如果给定的多面体是凸的，则容易找到三角剖分，但是找到具有最小数量的四面体的三角剖分是NP-hard的。[下方的亚历山大，耶苏斯·德·洛埃拉和尤尔根·里希特-盖伯特。寻找凸3多面体的小三角剖分的复杂性。 J.算法， 2004年。]

— 杰夫斯
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2

感谢您的指点，杰夫。特别是，我认为您提到的最后一个结果很有趣。令人惊讶的是，在平面中，构成多边形的单纯形数量是一个常数，但是在更高的尺寸中不再适用，实际上很难进行优化。这正是我所希望的答案。

— 鲍勃·弗雷泽

16

维多面体的可实现性问题是一个候选对象。当，它是多项式时间可解的（根据Steinitz定理），但是当，这是NP-困难的。有关更多信息，请参阅Richter-Gebert和Ziegler的“ 4-polytopes的实现空间是通用的 ”（也有arxiv版本），以及Ziegler 的书“ Polytopes的讲座 ”（第二版印刷）。 $d$ $d \le 3$ $d \ge 4$

— 冈本佳男
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2

更具体地说，不是说它是NP难的，而是对（实数的存在性理论）而言是完整的。

\exists R

$\exists\mathbb{R}$

— David Eppstein

谢谢，我之前没有见过这个问题。

— 鲍勃·弗雷泽

再次，就像大卫·埃普斯坦（David Eppstein）的回答，（可能）比NP-complete困难。

— Peter Shor

11

确定度量空间是否等距可嵌入R ^ 2很容易。但是，要确定R ^ 3的可嵌入性是NP难的。

嵌入到很容易，嵌入到是NP完全的。杰夫·埃德蒙兹（Jeff Edmonds）。SODA 2007 $\ell_\infty^2$ $\ell_\infty^3$

纸

— Zouzias
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这也是一个很好的例子。

— Suresh Venkat

-2

这个答案不能完全回答您的问题，但是确实有一些小的联系。我没有向您回答和，而是向您展示了这存在于和。 $R^2$ $R^3$ $Z^2$ $Z^3$

2-SAT问题（布尔可满足性）可在多项式时间内解决。尽管不一定是“几何”问题，但存在一个相应的问题，称为“ 匹配”，从某种意义上讲，它是更几何的，并且直接与2-SAT问题对应。名称匹配是k维匹配的更通用形式，其中。要回答您的问题，3-SAT问题是NP完全问题，它直接映射到3维匹配问题，这也是NP完全问题。因此，k-SAT问题（以及因此的k维匹配）是另一个问题，在易于处理，并且在中是NP完全的。 $k = 2$ $Z^2$ $Z^k$ $k > 2$

— 考施克·香卡（Kaushik Shankar）
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说2SAT在R ^ 2中是什么意思？

— Suresh Venkat

@Suresh 2-satisfiability（缩写为2-SAT或简称为2SAT）是确定是否可以为具有变量对约束的二值（布尔或二进制）变量的集合分配满足所有约束的值的问题。（来自Wikipedia）因为这是一组2值变量解决的问题，所以可以将这些变量视为。

R^{2}

$R^2$

— Kaushik Shankar

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-1：我看不出R ^ 2中的2SAT情况如何。我看不到2SAT是一个“几何问题”。

— 罗宾·科塔里

对于没有提出几何问题，我深表歉意，但是尽管标题询问的是几何问题，但注释中的两个问题并未将其指定为几何问题。此外，2满足度具有称为2维匹配的图形表示，即P，其中3满足度对应于3维匹配，即NP。

— Kaushik Shankar

@Robin我继续并在原始评论中进行了澄清。

— Kaushik Shankar