O（n log n）中的3个符号TM可以识别该语言吗？

我在玩一个非常有趣且仍未解决的问题“ 单带图灵机的字母 ”（作者：Emanuele Viola），提出了以下语言：

$L = \{ x \in \{0,1\}^n \text{ s.t. } |x| = n = 2^m \text{ and } count1(x) = k * m; \; n,m,k \geq 1 \}$

其中是字符串x 中的个数。 $count1(x)$ $1$

例如，如果x = 01101111，则n = 8，m = 3，k = 2；所以 $x \in L$

图灵机可以用单个胶带和3个符号的字母来识别L吗 $\{ \epsilon, 0, 1 \}$ 在步骤是什么？ $O(n \log{n})$

如果我们使用4个符号，则答案为是：

检查代替 s的和与S ，并在同一时间存储器 S于权; $|x|=2^m$ $0$ $\epsilon$ $1$ $2$ $m$ $1$
然后在计算 s模的个数。 $2$ $m$ $O(n \log{n})$

例如：

....01101111....... input x  (|x| = 8 = 2^3)
000.021.1212.0001.. div 2, first sweep (000. can safely be used as a delimiter)
000.022.1222.00011. div 2, second sweep
000.022.2222.000111 div 2, third sweep --> m = 3 (= log(n) )
000..22.2222....111 cleanup (original 1s are preserved as 2)
000..22.2221102.... start modulo m=3 calculation
000..22.2210022.... mod 3 = 2
000..22.2000222.... mod 3 = 0
000..22.0012222.... mod 3 = 1
000..20112.2222.... mod 3 = 2
000..11122.2222.... ACCEPT

cc.complexity-theory turing-machines time-complexity

— 马齐奥·德·比亚西（Marzio De Biasi）
source

如果

是自然数由下式表示

比

总是等于

，因此

？

| x | = n = 2^{m}

$\vert x \vert = n = 2^m$

x

$x$

c o u n t 1 (x)

$count1(x)$

1

$1$

L = {10}

$L = \lbrace 10 \rbrace$

— Marc Bury

抱歉| x | 表示字符串x的长度。一个例子：X = 01101111，N = 8，M = 3，K = 2，因此，

x \in L

$x \in L$

— 马兹奥德BIASI

顺便说一句，这是Emanuele问题的极好候选者，因为它在

：泵激引理不是规则的，所以不能是

，但是它是

。

Θ (n \log n)

$\Theta(n \log n)$

o (n \log n)

$o(n \log n)$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

— Joshua Grochow 2011年

经过以下修改后，您是否可以使用与4个符号的情况相同的想法：

始终同时处理一对符号。
$(00, 01, 10, 11) \mapsto (\epsilon0, \epsilon1, 0\epsilon, 1\epsilon)$ $\epsilon\epsilon$
对“ mod 2”步骤使用类似的技巧。

$O(1)$

— Jukka Suomela
source

你是对的！...现在我怀疑对Emanuele问题的答案是肯定的...但它仍然是公开的，因此正式证明它并不容易:-(谢谢！

— Marzio De Biasi