最小路径覆盖问题

我们正在分布式计算机上工作，我们提出了一个复杂性问题，该问题减少到最小路径覆盖问题。我们目前不知道如何解决。问题如下：

令为某个整数，令为包含顶点的图。我们用一对标记每个顶点，使得。此后，我们使用其标签命名顶点。的边集定义如下： 。$k$$Z_k$$\frac{k(k+1)}{2}$$(i,j)$$1 \leq i \leq j \leq k$$Z_k$$\{ ((i,j),(i',j')) | i' >i \land j' \geq i \}$

的最小路径覆盖是？$Z_k$

读Ntafos等人的“有向图中的路径覆盖问题及其在程序测试中的应用”。，我们已经看到最小路径覆盖等于最大无可比拟顶点集的基数。我们正在考虑以下集合： ，其基数为。$S= \{ (i,j) : i \geq k/2 \land j < k/2 \}$$\frac{k^2}{4}-\frac{k}{2}$

真诚的

皮埃尔

听起来您的图形是一个传递闭合DAG，对吗？如果是这样（这可能是您引用Ntafos等人所说的话的重述），覆盖DAG所需的最小路径数就是成对无可比拟的元素的最大数；这就是狄尔沃斯定理。

您的示例可能很简单，可以直接识别出这个最大的不可比集，但是通常可以通过基于图匹配的算法在多项式时间内找到该集。维基百科上有关Dilworth定理的文章的“通过柯尼格定理证明”部分说明了如何进行。