固定参数与近似算法之间的关系

固定参数和近似值是解决难题的完全不同的方法。他们有不同的动机。近似可通过近似解寻找更快的结果。固定参数根据k的指数或某个函数以及n的多项式函数来寻找具有时间复杂度的精确解，其中n是输入大小，k是参数。示例。 $2^kn^3$

现在我的问题是，基于固定参数和近似方法之间的关系是否存在任何上限或下限结果，或者它们完全不存在任何关系。例如，对于某个问题，对于某些很难说。与具有c近似算法或PTAS无关。请提供一些参考 $P$ $W[i]$ $i>0$

— 普拉布
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相关的，可能重复的吗？：cstheory.stackexchange.com/questions/4906/…–

— Suresh Venkat

@suresh venkat这个问题是关于理解NP完整参数和固定参数的差异。当我们仅以NP硬度进行讨论时，独立集和顶点覆盖范围实际上是相同的，但是当我们以固定参数进行讨论时，它们具有巨大的差异。顶点覆盖具有良好的fpt，而独立集合则是W [1]很难

— Prabu

但是在这里我正在寻找近似值和固定参数之间的关系。

— 普拉布

我认为它们之间没有真正的关系，但是通过使用固定参数，我们可能会有一个很好的近似值，例如在装箱（makespan调度）中您可以看到这种关系，或者例如在有界树宽图中，我们对某些问题具有近似值。

— Saeed

Answers:

参数化的复杂度与近似算法之间存在多种联系。

首先，考虑问题的所谓标准参数化。在这里，参数是您要在问题的优化版本中进行优化的参数（“顶点覆盖”问题的顶点覆盖大小，“树宽”问题的树分解宽度等）。让我们具体看一下Vertex Cover。对于顶点覆盖，具有线性顶点数量的任何内核都意味着一个常数因子多项式时间逼近算法：将其放入近似解中，将所有已由内核化算法强制插入到解中的顶点以及已内核化实例的所有顶点。另一方面，近似因子的下限意味着内核大小的下限。例如，在“唯一游戏猜想”下，Khot和Regev（JCSS 2008）排除以任何的比率表示的Vertex Coverage近似算法，这也排除了最多具有个顶点 Vertex Coverage内核。 $c<2$ $ck$ $c<2$

编辑：上一段中有关内核下限的论点是非常非正式的，据我所知，是否可以证明内核大小的下界（即使对于Vertex Cover）也尚待商open。正如@Falk在注释中指出的那样，该参数适用于大多数（所有？）已知内核。但是，我看不到如何排除存在内核化算法的情况，在这种情况下，内核化实例的可行解决方案的逼近率与初始实例中的相应解决方案不同。

然后是PTAS与FPTAS的问题。如果要在最优值内找到解决方案，则可以通过进行参数化。然后，PTAS对应于参数化设置中的XP算法，而FPTAS对应于FPT算法。对于近似下限，对于标准参数为W [1] -hard的任何问题，我们可能都不希望使用EPTAS：以运行EPTAS可以在FPT时间内准确解决该问题。 $(1+\epsilon)$ $1/\epsilon$ $\epsilon=1/(k+1)$

最后，FPT近似算法是一种具有FPT运行时间和近似比率（取决于参数）的算法。例如，Cliquewidth问题的标准参数化具有FPT近似算法，其近似比率为（Oum，WG 2005），而独立支配集的标准参数化则没有FPT近似除非FPT = W [2] （Downey et al。，IWPEC 2006），否则对任何可计算函数性能比均为算法。有关FPT近似的调查，请参阅（马克思，《计算机杂志》，2008年）。 $(2^{3k+2}-1)/k$ $g(k)$ $g$

— 塞尔·加斯珀斯
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@Gasper您能否看到问题“在给定两个非循环子锦标赛的情况下找到最大非循环子锦标赛”。我仍然对我的回答有疑问。当您处理相关问题时，您可以为我提供帮助

— Prabu

Serge答案的第一段是否正确？逼近的下限是否产生内核大小的下限？Niedermeier的书中也有类似的说法，但这是正确的吗？

— XXYYXX 2011年

@XXYYXX：在Serge的回答中，他用简短的证明写了“任何具有线性数量的顶点覆盖顶点的内核都表示一个常数因子多项式时间近似算法”。更准确地说，他的论据表明，对于某个常数c，是否存在具有ck个顶点的核，然后存在一个因数c近似算法。矛盾的是：如果不存在因数c近似算法，则不存在具有ck个顶点的核。

— 冈本

@Prabu：我评论了您对另一个问题的回答。@Yoshio：感谢您回答@XXYYXX的问题。

— Serge Gaspers'3

实际上，对于所有已知的内核化，该论点成立。但是，我认为没有理由为什么不应该存在这样一个问题，例如首先减少到另一个问题，在那里进行内核化，然后再减少到“顶点覆盖”，以使生成的实例与最初的实例没有顶点对应。因此，在我看来，我们真正能展示的唯一一件事是作为子图的内核可能不会小于2k。

— FalkHüffner2011年

$FPTAS$ $PFPT$

$Q=(I_Q, S_Q, f_Q, opt_Q)$ $NP$ $Q$ $FPTAS$ $Q$ $PFPT$

$PFPT$

$NP$ $Q$ $PFPT$ $O(|x|^{O(1)}k^{O(1)})$ $|x|$ $x$

在[2，定理6.5]中提出了两个近似类的另一种表征。

问题是

$PTAS$ $ptas^{\infty}$ $XP^w$

$FPTAS$ $fptas^{\infty}$ $PFPT^w$

$(f)ptas^{\infty}$ $(XP)PFPT^w$ $\frac{1}{\epsilon}$

多项式时间逼近方案与参数化复杂度。J.Chen等。/离散应用数学155（2007）180 – 193。
多项式时间近似的结构。EJ van Leeuwen等。技术报告UU-CS-2009-034，2009年12月。

— 奥列克桑德·邦达连科（Oleksandr Bondarenko）
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