通过事后选择进行互动证明？

将计算模型MPostBQP定义为与PostBQP相同，只不过我们允许在选择后和最终测量之前进行多项式量子比特测量。

我们能否提供任何证据表明MPostBQP比PostBQP更强大？

定义MPostBQP [k]以允许在进行最终测量之前进行多次测量和后选择。选择索引，以便MPostBQP [1] = PostBQP和MPostBQP [2] = MPostBQP，依此类推。（更新：下面给出正式定义。）

考虑Arthur-Merlin游戏。也许我们可以在这种计算模型中模拟它们：后选择可以扮演Merlin产生令人信服的消息的角色，中间度量可以扮演Arthur抛硬币的角色。这种可能性使我问：

我们是否有AM [k] MPostBQP [k]？$\subset$

对于，这确实是已知的，它表示MA PP。要显示，仅当AM PP 时才表示MPostBQP = PP。由于存在一个关于PP中不包含AM的预言，这可以为我的第一个问题提供肯定的答案。$k=1$$\subset$$k=2$$\subset$

最后，对于多项式很多回合的情况，

我们有PSPACE MPostBQP [poly]吗？如果是这样，是否平等？$\subset$

从哲学上讲，这（至少对我而言）是有趣的，因为它将告诉我们，“后选巫师”的“棘手”一类问题包括（或者是）全部PSPACE。

编辑：我被要求提供MPostBQP的正式定义。（我更新了以下内容。）

MPostBQP [K]是类的语言存在用于其多项式大小的量子电路的均匀家庭，使得对于所有输入，如果，则下面的过程以true的概率至少为，如果，则以最大概率条件产生真。该过程允许一些可能取决于选择（但不取决于），其定义如下：$L \subset \{0,1\}^*$$\{C_n\}_{n \geq 1}$$x$$2/3$$x \in L$$1/3$$x \notin L$$L$$x$

过程：步骤1.将与对应的运算符应用于输入状态。请注意，第一个寄存器的长度最多为多项式。第2步。对于：如果为偶数，则从第一个寄存器中测量任意数量的qubits（给定寄存器的大小，最多为多项式）。如果为奇数，则后选择，因此第一个寄存器中选定的单个qubit的度量$C_n$$\left\vert 0\cdots 0\right> \otimes \left\vert x \right>$$\left\vert0\cdots 0\right>$$x$$i = 1 \cdots k$$i$$i$$\left\vert 0 \right>$（当然，并保证概率不为零，因此后选择有效）。步骤3.最后，测量第一个寄存器中的最后一个qubit，如果测量，则返回true，否则返回false。$\left \vert 1 \right>$

我们有MPostBQP [0] = BQP，MPostBQP [1] = PostBQP和MPostBQP：= MPostBQP [2]。我正在尝试镜像Arthur-Merlin类，其中AM [0] = BPP，AM [1] = MA，AM [2] = AM。

编辑（3/27/11 5 PM）：关于如何在这种情况下定义后选择似乎存在争议。显然，我的意思是定义不能使我的问题变得微不足道！:)我假设的定义如下：第k位的后选择意味着我们将状态投影到k位为的子空间中$0$并标准化。事实证明，在我们先进行选择后进行测量的方案中，然后我们可以通过查看将后选择替换为测量的方案中的条件概率来获得最终统计数据。但是，我声称在散布测量和后选择时，此特征会破坏。我认为造成这种混淆的原因是人们使用这种“条件概率定义”（在我要从中概括出来的特殊情况下有效）作为后选择的定义，而不是我刚才给出的“强制测量”定义，后者显然取决于由于缺乏可交换性而订购。我希望这有帮助！

编辑（3/27/11 9 PM）：我已经在纯状态形式主义中定义了后选择。Niel对密度矩阵形式主义进行了分析，该模型与我的3量子位示例不同。罪魁祸首是后选择的定义。在密度矩阵设置中定义后选择，如下所示。给定密度矩阵，将其重写为可分离状态。令为使用上面定义的纯状态形式主义进行后选择（在某些qubit上）的结果。将上的后选择结果定义为。$M$$M = \sum p_i \left\vert a_i \right> \left< a_i \right\vert$$\left\vert A_i \right>$$M$$\sum p_i \left\vert A_i \right> \left< A_i \right\vert$

这是一个更明智的定义，因为它没有给我们提供结果，即在我们进行事后选择之后，我们更改了已经观察到的事件（度量）的统计信息。也就是说，是我们“已经翻转”的硬币的概率。对我来说，说我们要回到过去并偏向已经发生的硬币翻转没有意义，因为这会使当前的事后选择更有可能。$p_i$

编辑（11年3月28日下午1点）：尼尔承认，我的定义问题是有道理的，并且不轻视-但与规定，我不应该把它叫做后选择。考虑到混乱的程度，我必须同意他的看法。因此，我们将其定义为selection，它执行“强制测量”。我可能还应该更改我定义的复杂度类的名称（不要在其中包含“ Post”），因此我们将其称为QMS [k]（量子度量选择）。

从评论看来，肖恩的想法与通常通过后期选择理解的有所不同。我现在理解这意味着在特定的后期选择之前进行的任何测量的统计信息都不应被后续的后期选择更改。这类似于具有投影算子的方法，在该算子中，对波函数的每个分支（对应于特定的测量结果）进行归一化，而不是对整个波函数进行归一化。

在这种情况下，我和尼尔在其他答案中给出的论点不再成立。确实很容易看出 MPostBQP [k]，因为MPostBQP可以看作是BQP机器，可以对PP oracle 进行查询，因此 MPostBQP。$P^{PP[k]}\subseteq$ $[k]$$k$$P^{\# P}\subseteq$

因此，现在我们有了一个非平凡的下限，那么上限呢？好吧，显然问题出在PSPACE中，但是我们可以做得更好吗？实际上，我认为我们可以。

我们可以将任何计算形式写为MPostBQP中的一系列序列，形式为：量子计算，后选择，然后进行单个qubit测量。的确，这可能是表示MPostBQP [k] 的另一种方法，因为该计算由这样的层组成（这与Shaun的定义略有不同，我认为Shaun的定义只是计算后选择的数量），其后是经典后处理的最后一层。我将在下面使用MPostBQP [k]的定义，因为它会带来更美观的结果。$k$

下面是原始版本的更新内容，以修复证明中的漏洞。

首先，我们希望计算第一个量子位的测量结果（不是后选！）。为此，我们首先要注意的是，任何量子计算都只能使用Hadamard门和Toffoli门来表示，并且中特定计算基础状态的幅度可以写为最多的和。项，其中是Hadamard门的总数，每个门都对应一个唯一的计算路径。显然，。然后，获得最终状态的概率由$\alpha_w$$|w\rangle$$2^{H}$$a_{j,w}$$H$$a_{j,w} = \pm 2^{-H/2}$$|w\rangle$$\alpha_w^2 = (\sum_j a_{j,w})^2 = \sum_{i,j} a_{j,w}a_{i,w}$。我们希望计算出测量1的总概率。令为满足选择后标准（即选择后量子位为1）的计算基础状态集，并得出测量的量子位为0，令是满足选择后标准的计算基础状态集，并且所测得的量子比特为1。我们可以定义 和 $S_0$$S_1$

在这种情况下，通过可以得出为后选的qubit测量以1为条件的1的概率。。正如我们可以通过对#P oracle的4次调用来确定这一点。我们用它来产生一个随机位，它的概率为，为1，与量子测量相同。因此，MPostBQP [1]位于＃P [。$\frac{\pi_1^+ - \pi_1^-}{\pi_1^+ - \pi_1^- - \pi_0^- + \pi_0^+}$$b_1$$X_1$$BPP^{\# P[4]}$

接下来，我们计算第二个量子比特的测量结果。为此，我们运行与第一层相同的#P查询，但在通过组合前两层而获得的电路上，对于每个后选择的qubit，我们在1上进行后选择，而对于后选择的qubit，则在进行后选择。测量1的输出。请注意，尽管这是对3个量子位的状态进行后选择，而不是1，这是对＃P查询的微不足道的修改，只需添加一个仅在所有3个量子位都满足所需条件时设置的辅助名即可然后在此辅助工具上进行后期选择。然后，为第二个测得的量子位的结果生成正确的条件输出概率，我们将其标记为$b_1$$\# P$$b_2$。请注意，我们现在已经使用了#P oracle的8个调用。

我们迭代地重复此过程，以便在第层上，对所有先前选择的量子位在1上进行后选择，对于所有先前的测量在进行后选择，并标记对应的机器。总共需要 oracle查询。$j$$j$$b_{i<j}$$P^{\# P}$$b_j$$4j$

因此，我们有MPostBQP [k]＃P [，它与先前的结果 MPostBQP，意味着 MPostBQP [k]＃P，因此MPostBQP＃P。 $\subseteq P^{\# P[4k]}$$P^{PP[k]}\subseteq$ $[k]$$P^{PP[k]} \subseteq$ $\subseteq BPP^{\# P[4k]}$ $= P^{\# P}$

[修订。]我已根据您对问题的修订对答复进行了修订，我保留了原始答复的内容，但将其缩短了。我已经取代了对“模拟”过程的更详细的描述，但是我想可以通过查看本文的编辑历史记录来看到它。

大多数人会从条件概率的意义上理解“后选择”。实际上，有关PostBQP的Wikipedia文章的当前版本就是这样描述的。并视为对密度运营商的操作（其中一个施加完全阳性痕量非增地图Φ，使得Φ ²  =Φ，然后renormalizes跟踪）一个复苏这个定义。

给定后选择的定义，您可以通过PostBQP算法模拟MPostBQP [ k ]算法的定义，方法是延迟后选择并以合适的方式同时执行它们。这在Aaronson的论文《量子计算，后选择和概率多项式时间》的第3页上或多或少地得到了明确的介绍，该论文引入了PostBQP类。

通过注意到 对于要后选择的比特序列P ₁  ，   P ₂，...（例如，在1通常的状态下），对它们的调节在1中间是没有区别的。计算和以它们为条件的条件是1在计算结束时，只要这些位的值在此期间不变。然后，与其在每个对象上分别进行事后选择，不如1在进行事后选择之前计算它们的逻辑与，然后在该合取项上进行事后选择1。此外，可以在该位的最后变换与其后选择之间的任何点执行计算AND。这绝不会影响该状态的任何联合统计。

因此，使用关于条件概率的后选择的通用定义，对于所有k  > 0 ，我们将具有MPostBQP [ k ] =  PostBQP。 正如我在上面的注释中所指出的，我不认为您描述的操作涉及状态向量-特别是涉及在测量结果的概率分布的每个分支中独立地对状态向量进行重归一化

—对应于后期选择，因为该领域的许多人（尤其是实验主义者）都会描述这个概念。如果扩展到密度算符上的映射，它甚至可能引起某些“非物理”属性。但是，这是一种构造诸如决策树之类的东西的可能方法，这些决策树的节点由状态向量标记，因此从原理上讲，它本身就是一个合理的研究过程。我只是不称该过程为“后选择”。

[编辑]为了简洁起见，我删除了计算的示例。我想可以通过查看此帖子的编辑历史记录来看到它。

从您对MPostBQP的定义来看，这似乎只是化装的PostBQP。与其试图说服测量结果可以重新排序，不如说它更令人信服地证明MPostBQP = PP，因为已知PostBQP = PP（请参阅quant-ph / 0412187）。为了证明这一点，我们将其分为两个任务：

1. 证明那个PP$\subseteq$MPostBQP和
2. 证明MPostBQP$\subseteq$ 聚丙烯

第一个任务很简单，因为PP = PostBQP = MPostBQP [1]$\subseteq$MPostBQP。第二个任务实际上是这里的主要问题，但可以通过对quantum -ph / 0412187中给出的PostBQP = PP的证明进行简单的修改来回答（有关证明的概述，请参见PostBQP上的Wikipedia页面）。

以下内容摘自Wikipedia证明的PostBQP = PP。

我们可以将与任何MPostBQP计算相对应的电路写为一系列of门和后选择。在不失一般性的前提下，我们可以假设一旦对量子位进行了后期选择，就不会再对其进行操作。因此，计算结束时获得的量子态为 $|\psi\rangle = \prod_i (P_i^1 \prod_j A^{ij}) |x\rangle$，在哪里 $P_i^1$ 表示qubit的投影仪 $i$ 到 $|1\rangle$ 子空间和 $A^{ij}$是对应于基本门的矩阵。注意，在不失一般性的前提下，我们可以假定$A^{ij}$ 是真实的，但要付出额外的量子位。

现在，让 $\{p_i\}$ 是被选中的一组量子比特，然后让 $q$是输出量子位。我们定义$\pi_0 = \sum_{w \in S_0} \psi_w^2$ 和 $\pi_1 = \sum_{w \in S_1} \psi_w^2$，在哪里 $S_0$ （$S_1$）是一组计算基础状态， $p_i = 1 \forall i$ 和 $q=0$ （$q=1$）。然后，MPostBQP的定义可确保$\pi(1) \geq 2\pi(0)$ 要么 $\pi_0 \geq 2\pi_1$。然后的想法是构造一个PP机器进行比较$\pi_0$ 和 $\pi_1$。表达$\psi_w$，最终波函数的一部分 $\psi$ 对应于特定的计算基础状态 $w$，作为路径总和并替换索引 $i$ 和 $j$ 上 $A^{ij}$ 只有一个索引 $k$ 从1到 $G$， 我们获得 $\psi_w = \sum_{\alpha_1 ... \alpha_G} A^{G}_{w,\alpha_G} A^{G-1}_{\alpha_G,\alpha_{G-1}} ... A^{1}_{\alpha_2,\alpha_1} x_{\alpha_1}$。

那么，这个想法就是建造一个PP机，该机可以接受$\frac{1}{2}(1+C(\pi_1-\pi_0))$ 对于一些 $C>0$， 自那以后 $x \in L$ 暗示 $\frac{1}{2}(1+\pi_1-\pi_0)> \frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{2}(1+\pi_1-\pi_0) < \frac{1}{2}$ 如果 $x \notin L$。

现在让 $\alpha = \{\alpha_i\}$ 和 $F(A,w,\alpha,X) = A^{G}_{w,\alpha_G} A^{G-1}_{\alpha_G,\alpha_{G-1}} ... A^{1}_{\alpha_2,\alpha_1} x_{\alpha_1}$。然后$\pi_1 - \pi_0 = \sum_{w \in S_1} \sum{\alpha,\alpha'} F(A,w,\alpha,X)F(A,w,\alpha',X) - \sum_{w \in S_0} \sum{\alpha,\alpha'} F(A,w,\alpha,X)F(A,w,\alpha',X)$。

这样的PP机器可以定义如下：

1. 选择一个计算基础状态 $w$ 均匀地随机。
2. 如果 $w \notin S_0 \cup S_1$，然后停下来接受 $1/2$，否则拒绝。
3. 选择两个序列 $\alpha$ 和 $\alpha'$ 的 $G$ 计算基础统一均匀地随机发生。
4. 计算 $X = F(A,w,\alpha,x)F(A,w,\alpha',x)$。
5. 如果 $w\in S_1$ 然后接受 $\frac{1+X}{2}$，否则拒绝。或者，如果$w\in S_0$ 然后接受 $\frac{1-X}{2}$，否则拒绝。

然后把MPostBQP [k]$\subseteq$PP，所有人$k$，因此MPostBQP不比PostBQP强大。