恢复数字化线的斜率

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是否有任何工作可通过数字化恢复线段的斜率？当然，不能做到如此精确。人们想要的是一种从数字化线中得出可能的斜率间隔的方法。

（我使用的数字化线的概念是罗森菲尔德的：对对的集合，其中覆盖整数（或连续整数的块），而表示整数最接近（如果，则取）。 $(i,nint(ai+b))$ $i$ $nint(x)$ $x$ $x=k+1/2$ $nint(x)=k$

我自己完成了一些工作（请参阅http://jamespropp.org/SeeSlope.nb），但是我没有计算几何方面的正式背景，因此我怀疑自己可能是在重新发明轮子，因为问题似乎是这样的一个基本的。

实际上，我知道在文献中有估计斜率的线性回归方法，但是我无法在任何地方找到我的结果。（此结果说，如果一个人选择和随机地均匀地，则斜率之间的差行的和斜率回归线近似的个点（）具有标准偏差。） $O(1/n^{1.5})$ $a$ $b$ $[0,1]$ $a$ $y=ax+b$ $\overline{a}$ $n$ $(i,nint(ai+b))$ $1 \leq i \leq n$ $O(1/n^{1.5})$

任何有关相关文献的线索或指针将不胜感激。

吉姆·普普（Jim Propp）（JamesPropp@ignorethis.gmail.com）

— 吉姆·普罗普
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因此，点数字化大致是指从网格中的一组单元格？

n

$n$

n \times n

$n \times n$

— Suresh Venkat

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数字化线到底是什么意思？我以为您的意思是照片中的直线或光栅化的图像，但是从线性回归的角度来看，听起来更像是您有兴趣寻找最适合某些采样数据的线。

— Joe Fitzsimons

因此，您感兴趣的模型不是和的精确解，而仅仅是它们的近似值？我通过不考虑简化问题（这只是一个令人讨厌的转变），而坚持使用（原来这只是另一个转变）。另外，这里是？

a

$a$

b

$b$

b

$b$

⌊ a x ⌋

$\lfloor a x \rfloor$

n

$n$

— 米奇

对不起，米奇；我忘了解释是什么！我已将其添加到原始帖子中。-吉姆

n

$n$

— 吉姆·普罗普

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请参阅Berstel和Pocchiola 随机生成的有限 Sturmian单词，以证明LP的可行区域只有3或4个面，以及一种简单算法可找到给定斜率和截距的多边形。（他们正在处理识别turmian单词的问题，但问题密切相关。）

它们还给出了多边形的显式枚举，因此可以枚举多边形的面积和坡度的范围，因此您可能能够获得坡度范围的期望值（以及更高的弯矩）。）作为明确的总和。

— 定义
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计算几何方法将用垂直段（i，j + [-1 / 2,1 / 2]）替换每个像素（i，j），采用上下端点组的凸包，并计算内部公共点切线-限制了产生此数字线的斜率范围。这只是您在幻灯片中提到的线性程序的几何解释。Meggiddo的LP或Graham-Yao的船体和切线的O（n）时间就足够了。

— 插口
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2

在图像处理中用于线检测的标准霍夫变换方法怎么样：http : //en.wikipedia.org/wiki/Hough_transform？

如果要提高速度，可以使用HT的随机版本。

— 马齐奥·德·比亚西（Marzio De Biasi）
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我不知道cg（或与此有关的任何其他小组）在从离散点集得出斜率方面的任何工作，但这更多地反映了我缺乏知识。
与其说cg，不如说是数论。除了我的评论中的简化假设外，还假设实际斜率在0到1之间。由于您的集合是连续的，所以点数是该斜率的最大分母。单位上升的模式由实际和的GCD决定（欧几里德GCD的扩展部分计算与Bresenham画线算法相同的点）。因此，计算点数（对于）（最后一个减去第一个）的（增强的）gcd ，将使您最接近分母最大的斜率有理数（请参阅斯特恩·布罗科特树）。因此从某种意义上说，您几乎不需要点的模式，只需改变 $\Delta y$ $\Delta x$ $x$ $y$ $x$ 和。 $y$

— 米奇
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Mitch，只考虑第一个点和最后一个点的建议只能使您将斜率重构到。通过查看两者之间的要点，可以做得更好。但是您认为这是一个非常理论上的问题是对的！

O (1 / n)

$O(1/n)$

— Jim Propp