任何算法问题的时间复杂度都由计数决定吗?


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我所说的计数是一个问题,其中包括寻找一个函数的解数。更精确地,给定的一个功能(不一定黑盒),近似 { X Ñ | ˚F X = 1 } = | f 11 | f:N{0,1}#{xNf(x)=1}=|f1(1)|

我正在寻找涉及某种计数的算法问题,对于该算法而言,时间复杂度受此基础计数问题的影响很大。

当然,我正在寻找的问题本身并不能算是问题。如果您能提供这些问题的文档,将不胜感激。

Answers:


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Θ(n2)Ω(n2)O(n2)

Θ(n2)Ω(n2)(n2)交点并查找重复项。

类似地,存在一组数字,其中三元元素的总和为零。因此,任何用于测试给定集合是否包含三个总和为零的元素的算法(由特定类别的决策树建模)都需要 time。(可以通过位级并行处理来删除一些日志,但是无论如何。)Θ(n2)Ω(n2)

同样从我的论文来看的另一个例子是霍普克罗夫特的问题:给定平面中有个点和条线,任何点是否包含任何线。已知点线入射的最坏情况是。我证明了在受限(但仍然很自然)的计算模型中,需要时间来确定是否甚至有一个点线入射。直观地说,我们必须枚举所有附近 -incidences,检查每一个,看它是否是真正的发病率。nnΘ(n4/3)Ω(n4/3)Θ(n4/3)

从形式上讲,这些下界仍然只是猜想,因为它们需要受限的计算模型,这些模型专门针对当前的问题,尤其是针对霍普克罗夫特的问题。但是,在RAM模型中证明这些问题的下界可能与其他任何下界问题一样困难(即,我们一无所知)—请参阅Patrascu和WilliamsSODA 2010论文中将3SUM的泛化与指数时间相关联假设。


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我不能完全确定这是否是您的意思,但是有一堆问题似乎并没有在计算问题,但是,我们知道如何解决问题的最好方法是计算对象。这样的问题之一是检测图形是否包含三角形。最快的已知算法是计算邻接矩阵的三次方的轨迹,该轨迹是(无向)图中的三角形数量的6倍。使用Coppersmith-Winograd矩阵乘法算法需要O()时间,这在1978年由Itai和Rodeh首次注意到。再次通过矩阵乘法得出k个数。|V|2.376



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二分平面(和对数类)完美匹配是一个问题,即使在搜索版本中,Kastelyn的用于计算平面匹配的算法(由Galluccio和Loebl扩展,并由Kulkarni,Mahajan和Vardarajan并行化)也起着重要作用。所有相关参考都可以在以下论文中找到:

NC中的一些完美匹配和完美半积分匹配。Raghav Kulkarni,Meena Mahajan和Kasturi R.Varadarajan。芝加哥理论计算机科学杂志,2008年第4卷。


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我将“影响很大”作为软约束而不是简化。从这个意义上讲,计算几何中的许多问题都具有运行时间,运行时间受其下的某些组合结构所限制。例如,计算形状排列的复杂性直接与这种排列的内在复杂性相关。

另一个典型的例子是,点模式匹配中的各种问题都有运行时间,这些运行时间可以归结为估算数量,例如点集中重复距离的数量等等。


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不确定这是否是您要寻找的东西,但是NP-完全问题的相变严重依赖于概率论证,这只是另一种计数形式。

LLL已用于解决某些“低密度”子集和问题,其成功取决于现有的满足子集和解标准的高概率短格向量。 Survey Propagation依赖于解空间的结构(以及固定变量的解数)来找到接近临界阈值的解。

Borgs,Chayes和Pittel几乎完全描述了(均匀)随机数分配问题的相变,因此描述了对于给定(随机)数分配问题实例可以期望有多少个解决方案。

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