界定量子查询和确定性查询复杂性之间的差距

尽管有限误差量子查询复杂度（$Q(f)$）和确定性查询复杂度（$D(f)$）或有限误差随机查询复杂度（$R(f)$）之间的指数分隔是已知的，但它们仅适用于某些部分函数。如果分函数具有某些特殊结构，则它们也与在多项式上相关$D(f) = O(Q(f)^9))$。但是，我最关心的是整体功能。

在经典论文中，表明的总函数$D(f)$由$O(Q(f)^6)$，$O(Q(f)^4)$代表单调总函数，约束$O(Q(f)^2)$。对称的总函数。但是，对于此类函数，已知不超过二次分隔（此分隔是通过O R实现的$OR$例如）。据我了解，大多数人都猜想对于总函数，我们有$D(f) = O(Q(f)^2)$。在什么条件下（除了对称函数）证明了这种猜想？就总功能的量子查询复杂度而言，决策树复杂度的最佳当前界限是多少？

据我所知，您所陈述的一般界限本质上是最著名的。改变模型略，Midrijanis已示出的约束，且，其中Q È（˚F ）是精确的量子查询的复杂˚F ; 也有在单侧误差（见第6方面已知的更严格的界限本文）。$D(f) = O(Q_E(f))^3$$Q_E(f)$$f$

就更具体但仍然通用的函数类别而言，有一篇Barnum和Saks的论文表明，所有变量的一次读取函数都具有量子查询复杂度Ω （$n$。$\Omega(\sqrt{n})$

尽管这一进展受到限制，但是在降低特定功能的量子查询复杂度方面已经取得了相当大的进步。有关详细信息，请参见这篇评论（或例如Reichardt的最新论文，该论文证明了“对手”界线的最通用版本是量子查询复杂性的特征）。

我喜欢Ashley Montanaro的答案，但我想我还会包括一些已知猜想的函数。

经常需要关注的一组功能是具有恒定大小的1证书的功能。这类问题包括，区别性，冲突，三角形查找和其他许多问题（在HSP系列中不存在），这些问题已被证明具有查询复杂性分离。$OR$

对于恒定大小的1证书总函数，我们有D （f ）= O （Q （f ）2）。$f$$D(f) = O(Q(f)^2)$

细节：

一种用于输入证书是比特的子集小号⊆ { 1 ，。。。，Ñ }，使得对所有输入Ý，（∀ 我∈ $x$$S \subseteq \{1,...,n\}$$y$$(\forall i \in S \quad y_i = x_i) \rightarrow f(y) = f(x)$$C_x(f)$$x$f （x ）= $C_1(f) = \max_{x | f(x) = 1} C_x(f)$$f(x) = 0$

您可以显示该。然后，您可以使用Buhrman和de Wolf的调查中提供的算法来证明：$Q(f) \geq \sqrt{bs(f)} \geq 2C_0(f)/2^{C_1(f)} + 1$$D(f) \leq C_1(f)bs(f) \leq C_0(f)C_1(f)$

如果我们只关注图形属性，那么与您提到的一般边界相比，我们可以证明边界略有改善：

在一个经典论文已表明为界为总的功能，为单调总的功能，和用于对称的总函数。O （Q （f ）6）O （Q （f ）4）O （Q （f ）2$D(f)$$O(Q(f)^6)$$O(Q(f)^4)$$O(Q(f)^2)$

首先，我认为可以将图属性的6次方限制提高到4次方。从[1]开始，他们表明任何图属性的查询复杂度至少为，其中是输入大小，其顶点数目是平方。当然，经典的查询的复杂性是最。Ñ $\Omega(N^{1/4})$$N$$N$

单调总函数的4次幂边界可以提高为单调图属性的3次幂。这是根据Yao和Santha的未公开观察（在[2]中提到）得出的，所有单调图属性都具有量子查询复杂度。$\Omega(N^{1/3}\log^{1/6}N)$

[1] Sun，X .; 姚（AC）；张胜宇，“图的性质和循环函数：量子查询的复杂度能降低多少？”，计算复杂度，2004年。第19届IEEE年度会议，卷，第286,293页，2004年6月21日至24日，doi：10.1109 / CCC.2004.1313851

[2] Magniez，Frédéric；Miklos的Santha；Szegedy，Mario（2005），“三角形问题的量子算法”，第16届年度ACM-SIAM离散算法研讨会论文集，不列颠哥伦比亚省温哥华：工业和应用数学协会，第1109-1117页，arXiv：quant -ph / 0310134。

2015年在这个问题上已经取得了很大进展。

首先，在arXiv：1506.04719 [cs.CC]中，作者通过显示总函数与$f$

另一方面，在arXiv：1512.04016 [quant-ph]中，表明了当函数的域很小时，量子和确定性查询复杂度之间的二次关系成立。