击中成对相交的家庭

甲hitting集一族$\mathcal{S} = \{S_1, \dots, S_n\}$是一个子集$H$的$\bigcup_{i=1}^{n} S_i$使得$H \cap S_i \ne \emptyset$为$1 \le i \le n$。找到给定族的最小命中集的问题通常是NP难的，因为它推广了顶点覆盖问题。现在我的问题是：

当\ mathcal {S}的元素$\mathcal{S}$成对相交时，命中集问题是否仍然对NP困难？

我也对这个问题的近似硬度（或易加工性）感兴趣。

答案是肯定的-问题仍然是NP-Complete。为每个集合创建一个假元素并创建一个新集合S_i'= S_i \ cup \ {e_i'\}和S_i''= S_i \ cup \ {e_i''\}。容易验证旧系统的任何命中集是新系统的命中集。此外，除了假元素外，每个元素现在至少命中了三组。è ' 我，é “ 我 š ' 我 = š 我 ∪ { ë ' 我 } š ” 我 = š 我 ∪ { é “ 我$S_i$$e_i', e_i''$$S_i' = S_i \cup \{ e_i'\}$$S_i'' = S_i \cup \{e_i''\}$

接下来，对于新系统中的每对集合（为了避免混淆，将它们称为$T_i$和$T_j$），创建一个假元素$x_{ij}$并将其添加到$T_i$和$T_j$。显然，在结果集系统中，所有集成对相交，但是原始的最佳击中集仍然是此最新系统的最佳击中集。

没有任何进一步的限制，该问题看起来就像原始问题一样困难。

顺便说一句，证明确实最佳解决方案不会使用任何虚假元素并不是一件容易的事。首先，我们可以假设新系统的给定击中集不包含任何$e_i'$或$e_i''$，因为否则我们可以将元素移动到集合的原始元素中，并获得相似大小的击中集。稍微看不清为什么元素$x_{ij}$不在最佳命中集中。由于这很繁琐，所以我只留下一个提示：如果x_ {ij}连接从这两个集合派生的两个集合，则在原始系统中建立一个连接两个集合$S_i$和S_j的图形。认为最小命中集中的该图必须为3$S_j$$x_{ij}$$3$正则，因此其中的边数严格超过存在于顶点的集合数。这样，可以为这些集合找到较小的击球集合。