拓扑属性的复杂性。

我是一名计算机科学家，上了一门拓扑学课程（点状拓扑结构的丰富点，并充斥着连续论）。我对测试拓扑（通过简单形式）的空间描述的决策问题感兴趣；保留到同胚的那些。

例如，已知确定结的属在PSPACE中并且是NP-Hard。（Agol 2006； Hass，Lagarias，Pippenger 1999）

其他结果有更多更普遍的感觉：AA马尔可夫（儿子的马氏）于1958年发现，测试两个空间在尺寸同胚或更高是不可判定（通过展示4流形不可判定）。不幸的是，最后一个例子并不是我所提问题的完美范例，因为它处理同胚问题本身，而不是同胚状态下保留的属性。$5$

“低维拓扑”似乎有大量工作：结和图论。我绝对对低维拓扑的结果感兴趣，但对广义结果更感兴趣（这些情况很少见）。

我对平均是NP-Hard的问题最感兴趣，但是我鼓励列出不为人知的问题。

关于拓扑属性的计算复杂度，已知什么结果？

计算拓扑包括大量的研究。每个复杂性结果的完整摘要都是不可能的。但是，请给我一点儿滋味，让我扩大您的榜样。

1911年，马克斯·德恩（Max Dehn）为有限表示的组提出了单词问题：给定生成器字母上的字符串，它代表身份元素吗？一年后，Dehn描述了一种针对可定向曲面基本组中的单词问题的算法；同样，Dehn描述了如何确定给定可定向曲面上的给定循环是否可收缩。正确实施后，Dehn算法的运行时间为。在同一篇1912年的论文中，Dehn认为“为所有群体解决单词问题可能与解决所有数学问题一样不可能。”$O(n)$

1950年，图灵通过减少停止问题（惊奇，惊讶），证明了有限表示半群中的单词问题是无法确定的。

基于图灵的结果，马尔可夫在1951年证明了有限表示半群的每个非平凡性质都是不确定的。如果某个组具有该属性，而另一些组则没有，则该组的属性是不平凡的。理论计算机科学家知道与“莱斯定理”有关的部分函数的相似结果。

1952年，诺维科夫（Novikov）证明了有限表示组中的单词问题是不确定的，从而证明了德恩的直觉是正确的。布恩在1954年和布里顿在1958年分别证明了相同的结果。

1955年，阿德扬（Adyan）证明了有限表示组的每个非平凡性质都是不确定的。Rabin在1956年独立地证明了相同的结果。（是的，那个 Rabin。）

最终，在1958年，马尔可夫（Markov）描述了在给定组表示为输入的情况下构造具有任何所需基本组的二维单元复合物和4维流形的算法。该结果立即表明，大量拓扑问题是无法确定的，其中包括：

• 给定的二维复数中的给定循环是否可收缩？（这是单词问题。）
• 给定的2复数是否简单连接？（“这个小组微不足道吗？”）
• 给定的4流形中的给定循环是否可收缩？
• 给定的4流形是否可收缩？
• 给定的4流形是否与特定4流形同胚（由Markov构造）？
• 给定的5流形是否与5球同胚（或您选择的任何其他固定的5流形）？
• 给定的6复数是流形吗？

$G$$G$$\pi_1(S^3)$$G$$G$

Ryan Budney在MathOverFlow上开始了类似的讨论：

https://mathoverflow.net/questions/35946/how-expensive-is-knowledge-knots-links-3-and-4-manifold-algorithms

https://mathoverflow.net/questions/144158/what-is-the-state-of-the-art-for-algorithmic-knot-simplification/145927

在Wikipedia上：

http://en.wikipedia.org/wiki/对话：Computational_topology