计算克雷格插值法已知哪些算法？

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是否有计算插补算法的调查？那只有一种算法的论文呢？我最感兴趣的情况是和，再加上插值尽可能小的约束。（我知道McMillan在2005年发表的论文，该论文描述了如何在避免量词的同时获取内插值。） $A=\lnot p\land q$ $C=q$

背景： Craig的插值定理（1957年）说，如果 $\vdash_{T_A\cup T_C}A\to C$ ，其中 $A$ 是的（fol）公式，是的公式，则存在公式使得和。式是克雷格插值的和（或者，在可替换定义，的和）。和平凡插值是 $T_A$ $C$ $T_C$ $B$ $\vdash_{T_A}A\to B$ $\vdash_{T_C}B\to C$ $B$ $A$ $C$ $A$ $\lnot C$ $\lnot p\land q$ $q$ $q$ ，但是我想要一个小的插值，以便对'small'进行一些合理的定义（例如句法大小）。（插值器有很多用途，如果您好奇的话，这里是其中之一。）

动机：这对通过验证条件生成的（非常）增量程序验证很有用。

— 拉杜·格里戈尔（Radu GRIGore）
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关于在各种证明系统中从给定证明中找到内插值的复杂性，会有各种结果。在某些弱证明系统中，可以高效地找到插值（然后我们说证明系统满足可行的插值属性），但更强的系统则不具备此属性（假设密码学中存在合理的假设）。简而言之，找到内插值的算法取决于用来显示的证明系统。

A \to C

$A \to C$

— 卡夫

我肯定错过了什么。平凡的插值大小为1。它怎么会更小？

q

$q$

— EmilJeřábek在2012

@EmilJeřábek：和是一个元变量，代表公式。例如，您可能具有和，其中情况是和的很好的插值，因为是无法满足的。在我的应用程序中，是旧的验证条件，是在程序稍作编辑后获得的验证条件。

p

$p$

q

$q$

p \equiv ((x = 1) \lor p r i m e (x))

$p\equiv((x=1)\lor{\it prime}(x))$

q \equiv ((x = 1) \land o d d (x))

$q\equiv((x=1)\land{\it odd}(x))$

f a l s e

${\bf false}$

\neg p \land q

$\lnot p\land q$

q

$q$

\neg p \land q

$\lnot p\land q$

p

$p$

q

$q$

— Radu GRIGore 2012年

我知道了。这种表示法让我很困惑。是否有原因

是小写字母，而

大写字母？

p, q

$p,q$

A, B, C

$A,B,C$

— EmilJeřábek在2013年

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看看Himanshu Jain的博士学位论文，使用满意度检查进行验证，谓词抽象和Craig插值。他着眼于验证应用中的几种基本技术的性能，并有一章涉及涉及线性方程和Diophantines的公式的插值。

他特别研究了我称为Bibel的连接方法，并将其称为General Matings。这些是基于图的方法，而不是基于公式推断的方法。如果您总体上对它们感兴趣，那么让我推荐Dominic Hughes的简短（无语法）证明（11页）。

— 查尔斯·斯图尔特
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有趣的是，切消和插值定理之间存在联系。首先，插值定理看起来像是消除切割时使用的混合规则消除的逆过程。这样的消除说：

If G |- A and D, A |- B are cut-free proofs,  
then there is a cut-free proof G, D |- B

现在，可以按如下所示完成一种基于无割证明的插值定理的形式。其消除的颠倒版本。它以G，D |-B开头，给出G |-A和D，A |-B：

If G; D |- B is a cut free proof,  
then there is a formula A (the interpolant) 
and cut free proofs G |- A and D, A |- B,  
and A uses only propositions simultaneously from G and D

我故意在分词G和D之间使用分号。这是我们画线的地方，该分界线是我们希望看到的传递插值符，而分界线是我们想要使用插值符。

当输入是无割证明时，算法的工作量与无割证明的节点数成正比。因此其实用的输入线性方法。对于无割证明的每个证明步骤，该算法通过引入新的连接词来组合插值。

上述观察结果适用于简单的插值构造，其中我们仅要求插值同时具有来自G和D的命题。具有可变条件的插值需要更多的步骤，因为还需要进行一些可变的阻碍。

免剪切证明的最小值与内插值的大小之间可能存在联系。并非所有的免裁剪样张都是最小的。例如，统一校样通常比免剪校样短。统一证明的引理非常简单，形式如下：

 G |- A       G, B |- C
 ----------------------
     G, A -> B |- C

如果在C的证明中不使用B，则可以避免。当在C的证明中不使用B时，我们已经有G |-C，因此通过弱化G，A-> B |-C。这里提到的算法，将不会对此予以关注。

最好的祝福

参考：Craig的插值定理在Isabelle / HOL中正式化和机械化，汤姆·里奇，剑桥大学，2006年7月12日， http：//arxiv.org/abs/cs/0607058v1

上面的引用没有完全显示相同的插值，因为它在序列的结论部分使用了多组。同样，它没有利用暗示。但这很有趣，因为它支持我的复杂性主张，并且显示了机械化的验证。

1月，您可以在cstheory上使用LaTeX风格的数学。

— 卡夫

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自问这个问题以来已有两年多的时间，但是在那时，已经有更多的论文发表了关于计算Craig插值的算法。这是一个非常活跃的研究领域，在这里给出一个完整的列表是不可行的。我在下面相当随意地选择了文章。我建议以下参考它们的文章并阅读它们的相关工作部分，以清楚地了解情况。

满意度模理论中的高效内插生成，亚历山德罗·西马蒂（Alessandro Cimatti），阿尔贝托·格里焦（Alberto Griggio），罗伯托·塞巴斯蒂安（Roberto Sebastiani），ACM TOCL，2010年。

涵盖了线性有理算术，有理和整数差分逻辑以及每个不等式的单位两个变量（UTVPI）的插值。
可满足性模数线性整数算法，Alberto Griggio，Thi Thieu Hoa Le和Roberto Sebastiani的高效内插生成。2010。
生成插值的组合方法 Greta Yorsh和Madanlal Musuvathi。2005。

说明在存在Nelson-Oppen理论组合的情况下如何生成插值。
平等理论的地面插值法，亚历山大·福克斯（Alexander Fuchs），阿米特·戈尔（Amit Goel），吉姆·格伦迪（Jim Grundy），萨瓦·科斯蒂克（Sava Krstic），切萨雷·蒂内利（Cesare Tinelli）。2011。
完整的基于实例的插值，Nishant Totla和Thomas Wies。2012。
插值器作为分类器，Rahul Sharma，Aditya V.Nori和Alex Aiken，2012年。

— 维杰·D
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