如果测试集合的成员资格已知为NP完全，是否可以约束集合的基数？

我想对具有个顶点的单位磁盘图集的基数有一个限制。众所周知，检查图是否是该集合的成员是NP-hard的。假设P NP ，这是否会导致基数的任何下限？ $N$ $\neq$

例如，假设在具有个顶点的所有图上都有一个顺序。NP硬度是否意味着基数超过，否则您可以通过对集合进行二进制搜索来测试多项式时间内的从属关系？我认为这将假设您已将集合以某种方式存储在内存中...是否允许？ $N$ $2^N$

定义：如果每个顶点都可以与平面中的一个单位磁盘相关联，则图就是单位磁盘图，这样只要它们的磁盘相交，就可以连接顶点。

这是有关单位磁盘图的成员资格测试的NP硬度的参考：http : //disco.ethz.ch/members/pascal/refs/pos_1998_breu.pdf

cc.complexity-theory graph-theory

— 崔Cho
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我想知道，有没有一个例子可以说明这项技术在某些集合的大小上提供了最著名的下限？那将是复杂性理论的一种很酷的间接组合应用。

— Sasho Nikolov

感谢您的协助。这两个答案都是有益的和有见地的。在没有另一个的情况下，我会接受任何一个。

— David Choi

Answers:

我不确定您是要问这个问题的技巧还是答案，但是McDiarmid和Mueller最近发表的一篇论文表明，在个顶点上（标记的）单位磁盘图的数量为 ; 参见http://homepages.cwi.nl/~mueller/Papers/countingDGs.pdf。 $n$ $2^{(2 + o(1))n}$

— 巴特·詹森
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Mahaney定理指出，当P = NP时，存在稀疏NP-完全集。因此，假设意味着超级多项式下限大小的实例的数量在 -complete套，为无穷多个。也就是说，如果，那么任何一个集都必须具有一些，以便对于无限多个整数，该集合至少包含长度为字符串。 $P \neq NP$ $n$ $NP$ $n$ $P \neq NP$ $NP$ $\epsilon \gt 0$ $n\ge 0$ $2^{n^{\epsilon}}$ $n$

H. Buhrman和JM Hitchcock证明了下界（）严格，除非多项式层次结构崩溃。 $2^{n^{\epsilon}}$

[1] H. Buhrman和JM Hitchcock，除非coNP⊆NP / poly，否则NP-Hard集呈指数密集，在IEEE计算复杂性大会上，第1-7页，2008年

[2] Eric Allender，关于P与NP问题的状态报告，计算机的进步，第77卷，2009年，第117-14页

— 穆罕默德·图尔克斯坦尼
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[Mah82] SR Mahaney。NP的稀疏成套：Berman和Hartmanis的猜想解，计算机与系统科学杂志25：130-143，1982

— 。– Marzio De Biasi

每个NP完全集具有可数的无限基数。您可能意味着P≠NP意味着对于无限多个，大小为的实例数具有一个超多项式下限。还要注意，是超多项式，而不是您给出的形式。

n

$n$

n

$n$

2^{(\log n)^{2}}

$2^{(\log n)^2}$

— 安德拉斯·萨拉蒙

感谢András，您的评论已纳入答案。

— Mohammad Al-Turkistany

@Mohammad：使其下界或：这就是超多项式的意思。

2^{ω (\log n)}

$2^{\omega(\log n)}$

n^{ω (1)}

$n^{\omega(1)}$

— Sasho Nikolov

@ Sasho，H。Buhrman和JM Hitchcock证明了我在答案中提到的下限（），除非多项式层次结构崩溃。H. Buhrman和JM Hitchcock，除非coNP⊆NP / poly，否则NP-Hard Sets呈指数密度，在IEEE计算复杂性会议上，第1-7页，2008年

2^{n^{ϵ}}

$2^{n^{\epsilon}}$

— Mohammad Al-Turkistany