Mulmuley的GCT计划

有时有人称Ketan Mulmuley的“几何复杂性理论”是解决诸如P对NP问题之类的复杂性理论的开放问题的唯一可行程序。著名的复杂性理论家对该程序有一些正面评论。根据Mulmuley的说法，要获得所需的结果将花费很长时间。对于一般的复杂性理论家来说，进入该领域并不容易，并且需要相当大的努力才能掌握代数几何和表示理论。

为什么GCT被认为能够解决P对NP？如果预计要超过100年才能到达，索赔的价值是多少？与目前的其他方法相比，它的优势是什么？在接下来的100年中可能会出现哪些优势？
程序的当前状态是什么？
该计划的下一个目标是什么？
是否对该程序有任何根本性的批评？

我更喜欢一般复杂性理论家可以理解的答案，并假设其具有代数几何和表示理论的最低背景知识。

— 匿名
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您是否在FOCS上看到了Mulmuley的教程（可从techtalks.tv/talks/1301获得），并且阅读了Ken Regan的论述：theorie.informatik.uni-ulm.de/Personen/toran/beatcs / ...？Mulmuley确实给出了直觉，说明了他认为自己的程序可行的原因（我认为他认为在某种程度上甚至是必要的），以及为何如此困难。

— Sasho Nikolov

相关博客文章：1，2。斯科特还写道：“穆勒（Mulmuley）的GCT程序是解决P对NP的唯一方法，我已经看到甚至渴望“知道”许多非平凡的技术来解决P中的问题（至少是匹配和线性编程）对我来说，这可能是GCT赞成的最强有力的论点。”

— 卡夫

我认为GCT的目标是VP vs. VNP，而不是P vs NP。

— Iddo Tzameret

@Iddo：实际上，它可以针对许多事物（比当前目标更多）。对于“针对 ”，其针对与（请参见arxiv.org/abs/0907.2850）。但是，在有限域上以及对于烫发和det以外的功能，它可以直接针对P vs NP。

C

$\mathbb{C}$

\bar{V P_{w s}}

$\overline{VP_{ws}}$

V N P

$VNP$

— 2011年

@Mohammad：仅仅因为解决方案是出乎意料的并且需要全新的想法，并不意味着这不是解决方案的发展方向。实际上，许多人已经相信，通过任何方法解决P vs NP 都将需要全新的想法……

— Joshua Grochow 2011年

Answers:

正如许多其他人指出的那样，Mulmuley，Regan和其他人已经在许多这些问题上说了很多话。在这里，我仅提供一些简短的摘要，说明我认为评论中尚未提及的一些关键点。

关于为什么GCT被认为可以显示，尽管在其他地方和上面的评论中已经给出了许多答案，但是我认为没有人提到它似乎避免了已知的障碍（相对论，代数化，自然证明））。关于它的价值-我认为即使花了我们100年的时间，我们也会从这个角度研究复杂性，从而从中学习一些新的知识。 $P \neq NP$
- 在理解GCT中出现的代数变体，表示形式和算法问题方面取得了一些进展。我知道从事此工作的主要研究人员（排名不分先后）是：P. Burgisser，C. Ikenmeyer，M. Christandl，JM Landsberg，KV Subrahmanyan，J. Blasiak，L. Manivel，N. Ressayre， J. Weyman，V。Popov，N。Kayal，S。Kumar，当然还有K. Mulmuley和M. Sohoni。
- 更具体地说，Burgisser和Ikenmeyer（STOC 2011）提出了一些使用GCT方法进行矩阵乘法的适度下界（，与目前最著名的）。尽管这些下限不是新的界限，但它们至少提供了一些概念证明，因为对于此模型问题上的这些适度下界，假设存在于GCT中的表示理论对象确实存在。 $n^2 + 2$ $\frac{3}{2}n^2 +O(n)$
- N. Kayal有几篇论文，涉及一个多项式在另一个的轨道上或在另一个的投影中时的测试算法问题。他表明，通常这些问题都是NP难解的，但是对于诸如永久，行列式和基本对称多项式之类的特殊功能，这些问题可以在P中确定。这是向Mulmuley猜想迈出的一步（某些更难的问题-决定轨道闭包 -在P中用于特殊功能（例如行列式）。
关于这一点，我没有比这更具体的答案了。
据我所知，没有根本的批评，从某种意义上说，我还没有看到任何批评以任何方式真正使程序脱节。当然，已经讨论了为什么必须使用这样的技术，考虑到预期的长期前景，该程序的价值，等等，但是我将这些描述为健康的讨论，而不是基本的批评。

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
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@ user124864：原则上是。GCT只是一种显示下限的方法，无论这些下限可能是多少。对于以对称性为特征的函数来说，它似乎应该工作得更好，但是后者的属性并不取决于您要显示的下限的数值（例如，准多边形与exp）。

— Joshua Grochow

我认为Ketan D. Mulmuley的这篇文章至少会回答关于P对NP和几何复杂性理论的问题＃1（可能是2）。

— 约书亚·赫尔曼
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