表示未成年人是次立方图的拓扑未成年人的引文

如果是最大度数为3的图，并且是的小数，则是的拓扑小数。 $G$ $H$ $G$ $H$

Wikipedia引用了Diestel的“图论”的这一结果。该书的最新版本将其列为Prop 1.7.4。这本书缺少证据或引文。

下落（作为原始证明）是否为人所知？

此外，是否有参考文献证明如果是爪的路径或细分，并且是的未成年人，则是的子图？这里简短地提到了它，但是缺乏参考。 $G$ $H$ $G$ $H$

— 以利
source

这本书可在diestel-graph-theory.com

— 亚历山大·兰格

谢谢亚历山大。该书的该版本没有提供建议或论点的证明，您知道完整版是否包含该建议或该建议的其他来源？

— 伊莱

我记得曾经搜索过您提到的第二个事实的引文，但没有发现任何东西。对于第一个陈述，我所知道的最好的引文是Diestel的书，但并不能证明该陈述。我将拭目以待，看看是否有人被引用。如果没有，我将发布证明作为答案。

— 罗宾·科塔里

@Robin，这时如果您发布证明，对我来说已经足够了。是否有适当的方法可以将结果应用于某处？我不熟悉堆栈交换策略或标准实践。

— 伊莱（Eli）

实际上，引文已经在此处进行了讨论和解决：meta.cstheory.stackexchange.com/questions/352/…–

— 亚伦·斯特林

如果是最大度数为3的图，并且是的小数，则是的拓扑小数。 $G$ $H$ $G$ $H$

由于是的次要，因此可以通过删除边，孤立的顶点并执行边收缩来从获得还很容易表明，我们可以坚持要求先完成子图操作，即我们可以先执行所有边和顶点删除，然后再执行所有边收缩。此外，让我们将“边缘收缩”的定义限制为不允许其中一个顶点具有1度的收缩边缘。收缩这样的边缘与删除它相同，因此这不会改变图形次要对象的定义。 $G$ $H$ $G$ $H$

令为通过首先执行所有边缘/顶点删除而从获得的图。仍包含作为未成年人。如果我们证明包含作为拓扑次要位，那么我们就可以了，因为拓扑次要位的定义还允许边缘/顶点删除。 $H'$ $H$ $H'$ $G$ $H'$ $G$

由于仅可以通过边缘收缩从获得，因此和所有中间图必须具有最大度数3，因为无法通过执行边缘收缩来降低图形的最大度数。（如果我们允许入射在度为1的顶点上的边的收缩，这是可能的。） $G$ $H'$ $H'$

因此，请考虑将转换为任何步骤。我们可以收缩的边的唯一类型是同时具有2度顶点或1度2顶点和1度3顶点的那些边。（所有其他组合均不起作用。例如，具有两个3度顶点的边在收缩时将产生4度顶点。） $H'$ $G$

$H_1$ $H_2$ $H_2$ $H_1$ $H'$ $G$ $G$ $H'$ $H$

$G$ $H$ $G$ $H$

$G$ $H$ $H$ $H$ $G$

我们也需要一次将此结果用于论文，因此我们在论文中包含了简短的证明。您可以在Quantum查询复杂度较小的图属性中找到结果。在第13页中提到了这一点。但是，这一事实被其他事物的证明所掩盖，并且没有明确地陈述为定理。

同样有趣的是，该定理有一个相反的结论：

$G$ $G$ $G$

— 罗宾·科塔里（Robin Kothari）
source

谢谢。如果您碰巧发现了针对这些结果的公开引用，我仍然会喜欢，但这确实很出色。

— 伊莱

这个答案现在是功能上的社区博客。

— 亚伦·斯特林

好的答案，但我认为您禁止1级收缩的技术存在缺陷。例如，考虑G = K_4减去任意边。沿G中3度的两个顶点收缩将生成最大度为2的路径图P_3。相反，如果不允许在某条边上的任何收缩（等同于某些删除），则应通过证明。形式上，如果gamma（x）\ {y} = gamma（y）\ x，则禁止顶点x和y之间的任何收缩。很容易看出，任何不违反该约束的收缩都会导致新的顶点度不降低。

— 罗素·史都华（RussellStewart）2013年

@ user2237635：对，谢谢。

— 罗宾·科塔里