您知道什么层次结构和/或层次结构定理？

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我目前正在撰写有关TCS层次定理的调查。在搜索相关论文时，我注意到层次结构不仅在TCS和数学中，而且在从神学和社会学到生物学和化学的众多科学中都是一个基本原理。看到大量信息，我希望我可以寻求这个社区的帮助。当然，我不希望您为我做书目搜索，而是要两种信息：

您的工作，同事或您熟悉的其他人的工作所产生的层次结构和层次结构定理并不那么广为人知。例如，这可能是您感兴趣的模糊计算模型的层次定理，或者是特定类的层次，例如与博弈论相关。
您认为绝对有必要将等级和等级定理包含在此类调查中。这可能已经为我所熟知，但是查看您认为更重要的层次结构以及为什么这样做将很有用。可能是“我认为非常重要，因为没有它，我们将无法进行此类研究”或“虽然不为人所知，但在基于逻辑的TCS中，我们经常使用此层次结构，我认为它是一个重要的工具。” 。是的，我的确相信逻辑方面的人有很多层次要提及，但是请记住，我们在谈论问题的层次。 $PH$

我将在此处保留更新列表：

$DTIME$ 层次结构
$NTIME$ 层次结构
$SPACE$ 层次结构
算术（也称为Kleene）层次结构
超算术层次结构
分析层次
乔姆斯基阶层
Grzegorczyk层次结构及其相关：Wainer层次结构（快速增长），Hardy层次结构
（缓慢增长）和Veblen层次结构
里奇的等级制度
Axt的层次结构（如Axt63中所定义）
循环层次结构（在MR67中定义）
$NC$ （，）层次结构 $AC$ $ACC$
深度层次结构，如Sipser83中所定义
多项式层次结构（）和较不完善的Meyer-Stockmeyer层次结构（量词之间没有区别） $PH$
指数体系（） $ELEMENTARY$
$NP$ 中间等级（Ladner定理）
不太坚固的（Arthur-Merlin） $AM$
该（非确定性的固定参数）的层次结构和相关的交替W¯¯层次（ -hierarchy）和 -hierarchy（W与参数依赖深度） $W$ $AW$ $W^{*}$
计数层次
傅立叶层次
布尔层次结构（在），也等于查询层次结构（在） $NP$ $NP$
属性测试的层次结构，如GoldreichKNR09中所示
无星星的常规语言的点深度层次
$BP_{d}(P)$ ：可通过多项式大小的分支程序解决的类，加上输入的每一位最多测试d次的附加条件，形成了不同值的层次结构 $d$
电路复杂性的时间层次
通信复杂性中的多项式层次

注意：如果您不想只被提及，请这样说。根据经验，我将同时提及社区以及将新信息曝光的特定人员。

— chazisop
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2

这看起来非常像社区Wiki问题。我可以转换吗？

— 戴夫·克拉克

可以推广Ladner定理，以获取其他类之间的无限层次结构（假设它们是不同的），例如P和P ^＃P之间。

— 泰森·威廉姆斯，

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您还可以提及“反层次”定理，即二分法定理。二分法定理可能会给自己一个整体的调查，但可能至少应该在诸如Ladner定理之类的地方提及它们。

— Joshua Grochow 2011年

1

您是否仅在询问问题类别的层次结构？还有“测试层次结构”的概念，例如，参见arxiv.org/abs/quant-ph/0308032。

— 亚历山德罗·科森蒂诺

1

是的，仅考虑复杂性类层次结构。即使限于，也有相当多的收集信息。

— chazisop

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傅里叶层次结构，定义为“ 姚韵诗，量子与古典取舍”。

从复杂性动物园：

$\mathsf{FH}_k$ 是可通过统一的多项式大小的量子电路家族解决的问题类别，其中等级的Hadamard门和所有其他门都保留了计算基础。 $k$

$\mathsf{FH}_0 = \mathsf{P}$

$\mathsf{FH}_1 = \mathsf{BPP}$

$\mathsf{FH}_2$ 由于Kitaev的相位估算算法，包含分解。

要证明傅立叶层次相对于oracle是无限的（即严格包含在），是一个悬而未决的问题。 $\mathsf{FH}_k$ $\mathsf{FH}_{k+1}$

— Robin Kothari
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-按照“反等级制度”，鲍罗丁的间隙定理可能值得一提。

定理。对于每个总可计算函数，使得，就有一个总可计算，使得。 $f : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ $f(n) = \Omega(n)$ $g : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ ${\sf TIME}[g(n)] = {\sf TIME}[f(g(n))]$

这将与时间层次定理相矛盾，只是不能在时间上构造（实际上，这就是为什么我们必须在大多数复杂性层次结构的语句中具有可构造性假设的原因）。 $g$

-通常时间层次结构也得到了有趣的增强，例如：

T I M E [n^{k}] ⊈ i . o . - T I M E [n^{k - 1}] / (n - \log n)

${\sf TIME}[n^k] \not\subseteq i.o.{\sf -TIME}[n^{k-1}]/(n-\log n)$

（存在时间问题无法在任何时间时间机器上使用位建议来成功解决，即使对于无限多个输入长度也是如此）。证明很容易：让列出时间机器，它们将个建议位作为第二个输入。定义，它将分解为，其中，运行，并输出相反的答案。然后。 $n^k$ $n^{k-1}$ $n-\log n$ $\{M_i\}$ $n^{k-1}$ $n-\log n$ $M'(x)$ $x$ $x=yz$ $|z|=\log |x|$ $M_z(x,y)$ $L(M') \notin i.o.{\sf -TIME}[n^{k-1}]/(n-\log n)$

-在某些情况下，应考虑缺乏已知的时间层次结构（作为未解决的问题）。例如，吗？ ${\sf BPTIME}[n] = {\sf BPP}$

— Ryan Williams
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2

是吗？否则，该语句就不会引起兴趣：只需选择。

T I M E [g (n)] = T I M E [f (g (n))]

$\mathsf{TIME}[g(n)] = \mathsf{TIME}[f(g(n))]$

g (n) = n

$g(n) = n$

— Sasho Nikolov

@Sasho，看起来是这样。Borodin的间隙定理（通过链接）的陈述也是如此。

— Daniel Apon

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复杂性动物园为您提供了一些层次结构。其中，尚未引用计数层次结构和布尔层次结构。

[编辑]为了使我的答案更有意义，请快速定义计数层次结构。

${\sf C_0P} = {\sf P}$
${\sf C_1P} = {\sf PP}$
${\sf C_{k+1}P} = {\sf PP^{C_kP}}$

然后，对于多项式层次，被定义为。 $\sf CH$ $\bigcup_k {\sf C_kP}$

计数层次结构由Wagner [Wag86]定义。Allender＆Wagner [AW93]发现了与阈值电路理论的联系。最近，Bürgisser[Bür09]还使用计数层次结构将Valiant的模型与Shub和Smale 的猜想联系起来。特别是，他证明了 tau-猜想隐含了永久物的超多项式下界。 $\tau$ $\tau$

[Wag86] KW Wagner。具有简洁输入表示的组合问题的复杂性。数学学报Acta Mathematica 23（3），325-356，1986。
[AW93] E.Allender和KW Wagner。计数层次结构：多项式时间和恒定深度电路。《计算机科学的最新趋势》，第469-483页，1993年。
[Bür09] P.Bürgisser。关于定义整数并证明算术电路的下界。计算复杂度 18（1），81-103，2009。

— Bruno
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Goldreich等。等具有用于属性测试的层次定理：

Oded Goldreich，Michael Krivelevich，Ilan Newman，Eyal Rozenberg：物业测试的层次定理。属性测试，计算机科学讲义，第1卷。6390，第289-294页，施普林格，2010年。

还有关于ECCC。

— 约纳坦
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此处显示大多数属性在量子模型中需要查询。可以将其插入答案的层次定理的证明中，以证明其也适用于量子性质测试。（实际上，对于具有至少一个需要查询进行测试的属性的自然计算模型，以及任何可计算的属性，您都可以在查询）。

Ω (n)

$\Omega(n)$

Ω (g (n))

$\Omega(g(n))$

f (n) \in O (g (n))

$f(n) \in O(g(n))$

Θ (f (n))

$\Theta(f(n))$

— Artem Kaznatcheev

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Sipser显示了内的深度层次，也就是说，多边形大小的深度电路比多边形大小的深度电路更强大： $AC^0$ $d+1$ $d$

Sipser，M。Borel集和电路复杂性。1983年STOC。

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
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Dieter van Melkebeek及其合著者对语义模型提供了时空层次结构的建议，其中包括随机化。

Dieter van Melkebeek，康斯坦丁·佩尔维谢夫（Konstantin Pervyshev）：具有一点点建议的通用时间层次结构。计算复杂度16（2）：139-179（2007）
Jeff Kinne，Dieter van Melkebeek：随机模型和其他语义模型的空间层次结构结果。计算复杂度19（3）：423-475（2010）

— 泰森·威廉姆斯
source

10

这是带有建议的语义类的更多层次结构。具体来说，对于ZPTIME和RTIME。

Lance Fortnow，Rahul Santhanam和Luca Trevisan。语义等级的层次结构。在STOC'05中。

— 马科斯·维拉格拉
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10

对于实数，有Zheng-Weihrauch层次结构

X. Zheng和K. Weihrauch。实数的算术层次。数学逻辑季刊 47（2001），第1 51-65号。

— 有人
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L. Adelman和K. Manders在1975年的论文中定义了一个类，它是类的双色氨酸类似物。语言包含在前提是存在多项式使得是否等于是一个未解决的问题。这种平等将表明数论与计算机科学之间的联系。 $\mathsf{D}$ $\mathsf{NP}$ $L$ $\mathsf{D}$ $P$

x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1}, \dots y_{n} < p o l y (| x |) : P (x, y_{1}, \dots, y_{n}) = 0.

$x \in L \Leftrightarrow \exists y_1, \dots y_n < poly(|x|) \colon ~P(x, y_1,\dots, y_n) = 0.$

D

$\mathsf{D}$

N P

$\mathsf{NP}$

有一个多项式层次结构的双色粉体类似物，称为“双色粉体层级”。多项式和双色阶层次结构交织在一起：

\forall i \geq 1, Σ^{i} D \subset Σ^{i} P \subset Σ^{i + 1} D

$\forall i \ge 1,~\Sigma^i D \subset \Sigma^i P \subset \Sigma^{i + 1}D$

— Alexander Knop
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您是指doi.ieeecomputersociety.org/10.1109/SFCS.1975.9还是doi.ieeecomputersociety.org/10.1109/SFCS.1976.13吗？

— 安德拉斯·萨拉蒙

D

$D$ 在第二个定义中（Diophantine复杂度）。

— GMB 2014年

@AndrásSalamon链接似乎无效。

8

另一个严格的层次结构：只对每个位进行有限次数测试的分支程序。允许的测试越多，分支程序的类别就越大。通常，分支程序还限于多项式大小。BP _d（P）是多项式大小分支程序的一类，可以测试多达次的每个位。 $d$

L /聚是的联合BP _d（P）对所有d，而BP _d-1（P） BP _d（P）为每一个d。 $\subsetneq$

— AndrásSalamon
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8

在参数化复杂度理论中，虽然只有经常提到的层次结构经常出现在出版物中，但它有几个层次结构。其他是： $\mathsf{W}$

$\mathsf{A}$ 层次结构
$\mathsf{AW}$ 层次结构
$\mathsf{EW}$ 层次结构
$\mathsf{LOG}$ 层次结构
$\mathsf{M}$ 层次结构
$\mathsf{S}$ 层次结构
$\mathsf{W^∗}$ 层次结构
$\mathsf{W^{func}}$ 层次结构

它们都在参数化复杂性理论（Flum和Grohe，Birkhäuser，2006年）中进行了描述。

— Martin Lackner
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7

不确定这是否符合您的标准，但是存在无星星常规语言的点深度层次结构。

— h
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6

电路大小的层次结构，请参阅上一个问题。

— Emanuele中提琴
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5

无限树的规则语言理论引起了目前正在研究的几个层次结构，其中许多问题仍未解决。

在无穷树上使用自动机时，奇偶条件（或Mostowski条件）特别受关注，因为非确定性奇偶自动机可以表达无限树的所有常规语言，并且接受条件的结构比其他类似Rabin或Müller 。

每个奇偶校验自动机都有一个等级，其中和，描述了接受条件的结构。因此，如果语言可以通过等级的（det / ND / alt）自动机识别，则可以说属于（分别）的级： $[i,j]$ $i\in\{0,1\}$ $i\leq j$ $L$ $[i,j]$ $L$ $[i,j]$

确定性Mostowski层次结构（并非所有常规语言）
非确定性莫斯托夫斯基层次
莫斯托夫斯基交替层次

交替层次结构的级别（即既是Büchi也是可共同定义的Büchi定义）对应于弱级别，并且具有弱交替自动机的特征，这会导致它们自身升为层次结构： $\Sigma_2\cap \Pi_2$ $L$

弱索引层次结构（并非所有常规语言）

对于所有这些层次结构（确定性层次结构除外），对于给定的常规语言，某个级别的成员资格的可确定性是一个未解决的问题。这些层次结构与拓扑分类（也称为Wadge层次结构和Borel层次结构）之间的联系也带来了一些未解决的问题。例如，可以推测弱索引层次结构和Borel层次结构是重合的。众所周知，所有这些层次结构都是严格的，并且最近解决了一些确定级别的特殊情况（尤其是低级别，或使用输入确定性自动机）。 $L$

— dkuper
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命题证明复杂性中的层次结构类似于电路复杂性中的层次结构。例如，命题屋顶系统类似于，用于 C-Frege证明系统类似于电路复杂度等级，依此类推。 $G_i$ $\mathsf{PH}$ $C \subset \mathsf{P}$ $C$

有界算术中也有层次结构，例如理论等。 $\mathsf{S^i_j}$

— 卡韦
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4

这是山上智之的无上下文语言的新层次结构。

他在不确定的下推自动机以及图灵和多对一约简的概念中引入了一种预言机机制。然后，为与上下文无关的语言（CFL）构造一个类似于多项式层次结构的新层次结构。例如，，等。所有有趣的部分是，当且仅当多项式层次结构崩溃时，CFL层次结构才会崩溃。 $CFL$ $CFL^{CFL}$

— 马科斯·维拉格拉
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3

详细说明OP（GoldreichKNR09）提到的要点之一：在属性测试和邻近性证明中，有几个层次定理，涉及到查询复杂度，适应性或可测试性方面的回合数（用于证明接近）。参见，例如

物业测试层次定理，Oded Goldreich，Michael KrivelevichIlan Newman和Eyal Rozenberg，2012年。https： //link.springer.com/article/10.1007/s00037-011-0022-4 [OP提及]
一个层次定理接近的交互验证，汤姆·古尔和罗恩Rothblum，2017年 http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2017/8153/
用于测试大小不可察觉的查询复杂度中的属性的层次定理，Oded Goldreich，2018年.https： //eccc.weizmann.ac.il/report/2018/098/
适用于属性测试的适应性层次定理，克莱蒙·佳能（ClémentCanonne）和汤姆·古尔（Tom Gur），2018年。https: //link.springer.com/article/10.1007%2Fs00037-018-0168-4

— 克莱门特C.
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指向此答案的指针，该答案侧重于第一个答案（GoldreichKNR09）。

— Clement C.

3

从上cs.stackexchange这个问题，我才知道原来的正规语言的层次属。本质上，您可以基于可嵌入其DFA图的最小类表面来表征常规语言。在[1]中表明，存在任意大类的语言，并且该层次结构是适当的。

Bonfante，Guillaume和Florian Deloup。“ 常规语言的种类。 ”计算机科学中的数学结构28.1（2018）：14-44。

— h
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2

计算多项式层次结构，简称#PH。第一个级别是#P，然后是#NP ...等。

— Tayfun Pay
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1

$^{cc}$

— Denis Pankratov
source

感谢您的补充，我编辑了您的评论，以使coNP明确表示通信复杂性（我知道在通信复杂性社区中通常将其丢弃，以避免符号混乱）。

— chazisop '16

1

$D_{p}$

$NC^{k}$ $AC^{k}$ $P$ $PSPACE$ $P$ $UP$

有关进一步研究布尔连接词的知识，图同构是低层次和高层次，也是Wikipedia参考。

— 修订版user3483902
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更晦涩的一面是：有限模型理论中定点逻辑的二阶继承定理。参见另一个层次定理。

— 马克斯·库比斯凯（Max Kubierschky）
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